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三角関数

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三角関数は、角度と直角三角形の辺の比、あるいは単位円上の座標を結び付ける関数である。

基本的な関数

代表的な三角関数は正弦 sin、余弦 cos、正接 tan である。直角三角形では、辺の比として定義できる。

sin²θ + cos²θ = 1

半径1の単位円を用いると、任意の実数角に対して sin と cos を定義できる。この定義により周期性や加法定理を統一的に扱える。

三角関数は波、振動、回転、測量、フーリエ解析などに現れる。物理学では波動の記述に不可欠である。

半径rの円で弧の長さsに対応する角をθ=s/rと定義すると、1周は2πラジアンになる。長さの比なので無次元であり、円運動や微分の式を簡潔に書ける。sin xの微分がcos xとなるのは、xをラジアンで測る場合である。度数法ならπ/180の係数が付く。

角αの回転は行列[[cosα,−sinα],[sinα,cosα]]で表せる。角βの回転と合成して行列積を計算すると、角α+βの行列となり、加法定理が得られる。この見方では三角関数の公式が、平面の回転の規則としてまとまる。

sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ

cos(α+β)=cosα cosβ−sinα sinβ

y=2sin(3t+π/4)なら振幅2、角周波数3、周期2π/3である。位相π/4は、引数を3(t+π/12)と書くと時間軸で左へπ/12ずらすことに相当する。tanθ=sinθ/cosθはcosθ=0で定義されない。逆三角関数を使う場合も、関数値を一つに決めるための範囲制限が必要になる。

0≤θ<2πでsinθ=1/2となるθをすべて求めよ。

解答と考え方を見る

θ=π/6と5π/6。単位円では同じ高さを持つ点が第一象限と第二象限にあるため、逆正弦の主値だけでは一つの解を落とす。

資料確認日：2026-10-12。