座標・ベクトルの公式集
平面の距離、直線、円、内積と面積の公式をまとめます。位置ベクトルと自由ベクトル、長さと長さの平方、内分比の対応を区別します。
2点間の距離
条件： は直交座標上の点。
3次元では を加える。
例： と の距離は5。
中点と内分点
条件：。点は位置ベクトルとして計算。
A側の距離比mはBの係数になる。
例： なら 。
ベクトルの内積
条件：実数のユークリッド空間。角度表示には両ベクトルが0でないことが必要。
垂直性、射影、角度の計算に使う。
例：。
ノルムの平方
条件：実数のユークリッド空間。
長さ自体が成分の和になるわけではない。
例： なら 。
正射影
条件：。
射影ベクトルと、符号付きの射影の長さを区別する。
例： のx軸への正射影は 。
2点を通る直線
条件：相異なる2点 。
傾きで割らない形なので垂直な直線にも使える。
例： と を通る直線は 。
点と直線の距離
条件：直線 、 は同時に0でない。点は 。
分子の絶対値を忘れない。
例：原点と の距離は2。
円の方程式
条件：中心 、半径 。
平方完成すると中心と半径を読み取れる。
例： は中心 、半径4。
座標で求める三角形の面積
条件： は同じ頂点から出る2辺。
絶対値を外すと向き付き面積。平行なら面積0。
例： なら 。
直線のベクトル表示
条件：。 は通る点の位置ベクトル。
線分なら として に制限する。
例： は 。
確認問題
を に内分する を求めてください。
解答と考え方を見る
。Aに近い点なので、Aの係数が大きくなります。
参考資料・次に読む資料
- OpenStax：Precalculus 2e — Law of Cosines三角形の辺・角・座標と余弦定理を学ぶ節。
- MIT OCW：Linear Algebra行列・連立方程式・内積・行列式・固有値の講義。
資料確認日：2026-11-03。