数

数（number）は、数量・順序・比率などを表す数学的対象である。

主な数体系

自然数、整数、有理数、実数、複素数は代表的な数体系である。

自然数に0を含めるかどうかは文脈によって異なる。

有理数と無理数

有理数は整数 a と0でない整数 b を用いて a/b と表せる数である。これに対し、√2 や π のようにその形で表せない実数を無理数という。

複素数

複素数は実数 a,b と虚数単位 i を用いて a+bi と表される。虚数単位は i²=-1 を満たす。

数体系を広げる動機

自然数だけでは3−5に答えられないので整数を導入し、整数だけでは1÷2に答えられないので有理数を導入する。有理数にはx²=2の解がなく、極限を扱うためにも実数が必要になる。さらにx²=−1の解を含めて複素数へ広げる。各拡張では以前の演算規則との整合性が求められる。

証明：√2は有理数ではない

√2=a/bと既約分数で書けると仮定する。a²=2b²だからa²は偶数であり、奇数の平方は奇数なのでaも偶数となる。a=2kを代入するとb²=2k²となりbも偶数。するとa,bがともに2で割れ、既約であることに矛盾する。よって√2は無理数である。

小数表示と計算機の数

有理数の小数は有限で終わるか、ある桁から周期的になる。分数の割り算で現れる余りが有限種類しかなく、同じ余りが出ると以降の計算が繰り返されるためである。コンピュータの浮動小数点数は有限個の二進数で近似するので、0.1のような十進有限小数でも正確に保持できない場合がある。数学的実数と機械上の表現を区別する必要がある。

関連項目