数学の定理と証明

12のテーマを、仮定・主張・証明・使用例・注意点の順に学びます。多くの例で確かめることと、すべての場合を論理で示すことを区別し、証明の各段階で何を使っているかを追います。

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取り組み方

証明の前に仮定と結論を書き分けます。等式を変形するたびに、分母が0でないことや、平方根が実数で定義されることを確認してください。

直接証明、対偶、背理法、帰納法は使える場面が違います。途中に使う既知の定理も確かめ、仮定を外した例で何が失敗するかを考えます。

収録一覧

• 数学的帰納法と自然数の和の証明無限に多くの自然数についての主張を、一つずつ計算して確かめることはできません。数学的帰納法では、出発点が正しいことと、正しさが次へ伝わることを示します。自然数の和を例に、仮定をどこで使うかまで追います。
• √2が無理数であることの証明小数をたくさん計算しても、その先が循環しないことまでは分かりません。√2の無理性は、既約分数と偶奇の性質を組み合わせて証明できます。「有理数だとすると何が破綻するか」を追う、背理法の基本例です。
• 素数が無限に存在することの証明非常に大きな素数を一つ見つけても、その先に素数があることは保証できません。素数の無限性は、有限個で全部だと仮定したリストから、そのどれでも割り切れない整数を作ることで証明できます。
• ユークリッドの互除法の正しさ大きな整数の最大公約数は、約数をすべて列挙しなくても求められます。ユークリッドの互除法は「割った余りに置き換えても共通の約数は変わらない」という事実に基づきます。答えが正しい理由と、必ず終了する理由を分けて示します。
• 二項定理の組合せによる証明二項定理は展開式の係数をまとめる公式です。各括弧からどちらの項を選ぶかを数えると、係数が組合せの数になる理由が分かります。公式の記憶だけでなく、特定の項を取り出す方法にもつながります。
• 相加平均・相乗平均の不等式と等号条件二つの非負の数では、算術平均は幾何平均以上になります。証明は平方が負にならないことに帰着し、等号条件も同時に分かります。最大・最小を求める問題では、その等号条件を実際に満たせるかまで確認します。
• コーシー・シュワルツの不等式の証明二つの数列の積の和は、それぞれの二乗和によって上から抑えられます。コーシー・シュワルツの不等式は、平方の和が非負であることから導け、ベクトルの内積や角度の定義にもつながります。
• 三平方の定理の相似による証明直角三角形の辺の長さには、三平方の定理が成り立ちます。斜辺への高さを引くと、もとの三角形と相似な二つの三角形が現れます。その対応を使って、辺の二乗と斜辺の部分の長さを結び付けます。
• 正弦定理・余弦定理の座標による証明正弦定理と余弦定理は、直角でない三角形の辺と角を結び付けます。座標を置けば、鋭角・鈍角を別々の図で処理せずに余弦定理を導けます。さらに外接円の中心の座標から、正弦定理の共通値が直径になることを示します。
• ロルの定理と平均値の定理の証明平均値の定理は、区間全体の平均変化率と、区間内のどこかでの瞬間変化率が一致することを述べます。証明は、両端の高さが等しい場合のロルの定理から始め、一般の場合には割線を引いた分だけ関数を差し引きます。
• 微積分の基本定理の証明微分は局所的な変化を、積分は区間にわたる累積を扱います。微積分の基本定理は、この二つがどの条件で逆の操作になるかを述べます。積分の上端を動かした関数の微分と、原始関数による定積分の計算を分けて証明します。
• 条件付き確率とベイズの定理の証明ベイズの定理は、結果が観測された後で、原因や仮説の確率を更新するための関係式です。別の特別な確率を導入するのではなく、同じ共通部分の確率を二通りに書きます。分母には、その結果が生じる全経路の確率が必要です。

関連項目