代数・方程式の問題集
Kanapedia 数学 · 2026-11-03
因数分解、絶対値、分数式、解と係数、指数方程式、文字を含む二次方程式を練習します。式変形の前に定義域を確認し、必要条件と十分条件を分けて解を絞ります。
平方完成は、足りない正方形を補う二つの3xを図形として並べると、平方完成で係数6の半分を使う理由が見えます。面積の説明にはxが非負という条件がありますが、展開して得る等式x²＋6x＝(x＋3)²−9はすべての実数xで成り立ちます。図を拡大参考：OpenStax：Quadratic Functionsまずヒントを開かずに解き、答えだけでなく式変形の理由も書いてください。分母を払う操作や平方する操作では、条件を落としていないか確かめます。
全問で、特に指定しない文字と解は実数として扱います。最後に元の式へ代入し、変形途中で生じた不適切な候補を除きます。
問題に取り組む
基礎
問題1 二次式の因数分解
2x2−5x−3を実数係数の一次式の積に因数分解してください。
ヒントを見る
定数項の積が−3、一次の項の係数が−5になる組合せを探します。
解答と途中式を見る
解き方
- 係数2と定数項−3から、(2x+1)(x−3)を候補にします。
- 展開すると2x2−6x+x−3=2x2−5x−3です。したがってこの候補は元の式と恒等的に一致します。
答え
2x2−5x−3=(2x+1)(x−3)
検算・確かめ方
x=0で両辺は−3になります。最終確認は特定の代入だけでなく、展開して全係数を照合します。
基礎
問題2 絶対値方程式
方程式∣2x−1∣=x+2を解いてください。
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2x−1の符号で場合分けし、各場合の条件と解を照合します。
解答と途中式を見る
解き方
- 左辺は非負なので、解はx+2≥0を満たします。まずx≥21では、2x−1=x+2よりx=3です。この値は場合分けの条件を満たします。
- x<21では、−(2x−1)=x+2より−3x=1、したがってx=−31です。これも場合分けの条件とx≥−2を満たします。
答え
x=3,−31
検算・確かめ方
x=3では両辺が5、x=−31では両辺が35になります。
標準
問題3 分母の条件を伴う方程式
方程式x−11+x+11=43を解いてください。
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最初にx=1,−1を記録してから分母を払います。
解答と途中式を見る
解き方
- 定義域はx=±1です。この範囲では(x−1)(x+1)=0なので、両辺に4(x−1)(x+1)を掛ける操作は同値です。
- 4(x+1)+4(x−1)=3(x2−1)より3x2−8x−3=0です。
- (3x+1)(x−3)=0より候補はx=−31,3です。どちらも除外値ではありません。
答え
x=3,−31
検算・確かめ方
x=3では21+41=43。x=−31では−43+23=43です。
標準
問題4 解を求めずに三乗和を計算
二次方程式x2−3x+1=0の二つの解をα,βとします。α3+β3を求めてください。
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α+βとαβを使い、(α+β)3を展開します。
解答と途中式を見る
解き方
- 解と係数の関係から、α+β=3、αβ=1です。
- 恒等式α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)に代入すると、27−9=18となります。
答え
α3+β3=18
検算・確かめ方
各解はα2=3α−1を満たすので、α3=8α−3です。同様にβ3=8β−3より、和は8×3−6=18になります。
標準
問題5 指数を一つの文字に置き換える
実数xについて、4x−5⋅2x+4=0を解いてください。
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4x=(2x)2です。t=2xと置いたときの条件も書きます。
解答と途中式を見る
解き方
- t=2x>0と置くと、方程式はt2−5t+4=0になります。
- (t−1)(t−4)=0よりt=1,4です。どちらもt>0を満たします。
- 2x=1ならx=0、2x=4ならx=2です。指数関数2xは狭義単調増加なので、それぞれの解は一つです。
答え
x=0,2
検算・確かめ方
x=0では1−5+4=0、x=2では16−20+4=0になります。
発展
問題6 異なる二つの正の解を持つ条件
実数aについて、x2−2ax+a+2=0が異なる二つの正の実数解を持つための、aの必要十分条件を求めてください。
ヒントを見る
判別式、解の和、解の積の三つを同時に調べます。
解答と途中式を見る
解き方
- 異なる二つの実数解を持つ条件は、判別式D=4(a2−a−2)=4(a−2)(a+1)>0です。したがってa<−1またはa>2です。
- 二つの実数解がともに正なら、和2a>0、積a+2>0が必要です。逆に、実数解について積が正なら同符号であり、さらに和が正なら両方が正なので、この二条件で十分です。
- a>0、a+2>0と判別式の条件を合わせると、a>2だけが残ります。境界a=2では重解なので含みません。
答え
a>2
検算・確かめ方
a=3ではx2−6x+5=(x−1)(x−5)で異なる正の解を持ちます。a=2では(x−2)2=0となり、異なる二解という条件を満たしません。
参考資料・次に読む資料
資料確認日：2026-11-03。