位相幾何学

位相幾何学（topology）は、図形を連続的に変形しても変わらない性質を研究する数学の分野である。

連続変形

伸ばす、縮める、曲げるといった連続変形を許す一方、切断や貼り合わせは許さないという観点から空間の性質を分類する。

位相不変量

連結性、コンパクト性、穴の数に関係する量など、連続変形で保存される性質が重要になる。

他分野との関係

解析学、幾何学、物理学、データ解析などに広く応用される。現代数学では位相空間の概念が多くの分野の共通言語になっている。

連続変形の厳密な意味

二つの空間の間に連続な全単射があり、その逆写像も連続なら、両者は同相である。円周と正方形の周は同相だが、距離や角度は保つ必要がない。「切らずに変形」という比喩は便利でも、同相とホモトピー同値は異なる概念なので、厳密な議論では使う関係を明示する。

例：円周と線分は違う

閉線分の内部の一点を除くと二つに分かれるが、円周から一点を除いたものはつながったままである。同相写像が存在すれば、対応する点を除いた空間どうしも同相になり、連結性が一致しなければならない。したがって円周と閉線分は同相ではない。「連結性」という不変量で見分けた例である。

開集合・コンパクト性

一般の位相空間では、どの部分集合を開集合とするかによって連続性を定義する。連続写像とは、終域の開集合の逆像が開集合になる写像である。実数直線では閉区間[a,b]はコンパクトで、その上の連続実数値関数は最大・最小値を取る。しかし開区間(0,1)上のf(x)=xは最大値を持たない。空間の条件が解析学の結論を支えている。

関連項目