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三角関数・三角形の公式集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

基本関係、加法定理、倍角・半角、三角形の辺と面積の公式をまとめます。一般角の式と三角形の内角の式を区別し、角度の単位をそろえます。

目次

基本関係

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

条件：任意の実数角。

平方の記号は関数値を2乗する意味。

例：sin⁡x=3/5\sin x=3/5 なら cos⁡2x=16/25\cos^2x=16/25。符号は象限で決める。

正接の関係

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x,1+tan⁡2x=1cos⁡2x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}

条件：cos⁡x≠0\cos x\ne0。

分母が0になる角では正接は定義されない。

例：tan⁡(π/4)=1\tan(\pi/4)=1。

正弦の加法定理

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

条件：同じ角度単位を使う。

和の正弦は、正弦どうしの和ではない。

例：sin⁡75∘=(6+2)/4\sin75^\circ=(\sqrt6+\sqrt2)/4。

余弦の加法定理

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

条件：複号同順。右辺後半の符号は反対。

差の余弦では右辺は足し算になる。

例：cos⁡15∘=(6+2)/4\cos15^\circ=(\sqrt6+\sqrt2)/4。

正接の加法定理

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

条件：tan⁡α,tan⁡β\tan\alpha,\tan\beta が定義され、右辺の分母が0でない。

加法定理の正弦を余弦で割って得られる。

例：tan⁡75∘=2+3\tan75^\circ=2+\sqrt3。

倍角公式

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=1−2sin⁡2x=2cos⁡2x−1\sin2x=2\sin x\cos x,\quad\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1

条件：任意の実数角。

二乗を1次の三角関数へ変える積分にも使う。

例：cos⁡2x=(1+cos⁡2x)/2\cos^2x=(1+\cos2x)/2。

半角公式

sin⁡2x2=1−cos⁡x2,cos⁡2x2=1+cos⁡x2\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad\cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}

条件：任意の実数角。平方根を取る際は象限で符号を選ぶ。

sin⁡(x/2)\sin(x/2) が常に正とは限らない。

例：sin⁡15∘=2−3/2\sin15^\circ=\sqrt{2-\sqrt3}/2。

積和公式

2sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β),2cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta),\quad2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)

条件：任意の実数角。

積の形を和に変えて積分や周期の比較に使う。

例：2sin⁡3xcos⁡x=sin⁡4x+sin⁡2x2\sin3x\cos x=\sin4x+\sin2x。

正弦定理と余弦定理

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R,c2=a2+b2−2abcos⁡C\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,\qquad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

条件：面積が正の三角形。a,b,ca,b,c はそれぞれ角 A,B,CA,B,C の対辺、RR は外接円の半径。

余弦定理の角は、右辺の2辺の間の角。

例：a=b=2, C=60∘a=b=2,\ C=60^\circ なら c=2c=2。

三角形の面積

S=12absin⁡C=abc4RS=\frac12ab\sin C=\frac{abc}{4R}

条件：面積が正の三角形。CC は辺 a,ba,b の間の角、RR は外接円半径。

底辺と高さが直接分からなくても計算できる。

例：a=4,b=6,C=30∘a=4,b=6,C=30^\circ なら S=6S=6。

確認問題

2辺が3と5、その間の角が 60∘60^\circ の三角形の面積を求めてください。

解答と考え方を見る

S=12⋅3⋅5sin⁡60∘=153/4S=\tfrac12\cdot3\cdot5\sin60^\circ=15\sqrt3/4。指定された角が、その2辺の間の角であることを使っています。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

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