微分・積分の問題集
Kanapedia 数学 · 2026-11-03
導関数、接線、閉区間での最大最小、定積分、曲線間の面積、体積の最適化を練習します。微分の計算だけで終えず、定義域・端点・符号の意味を読み取ります。
微分で極値候補を得ても、最大値・最小値が確定したとは限りません。定義域の端点と増減も調べます。
定積分は符号付きの量です。図形の面積を求めるときは、どちらの曲線が上にあるかを区間ごとに確かめてください。
問題に取り組む
基礎
問題1 多項式の導関数
f(x)=3x3−2x2+5の導関数f′(x)を求めてください。
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(xn)′=nxn−1と、定数の微分が0であることを使います。
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解き方
- 項ごとに微分し、(3x3)′=9x2、(−2x2)′=−4x、5′=0を得ます。
- 導関数の線形性からf′(x)=9x2−4xです。
答え
f′(x)=9x2−4x
検算・確かめ方
得られた式の原始関数は3x3−2x2+Cです。微分で定数項が消えることとも整合します。
基礎
問題2 指定点での接線
曲線y=x2−2x上のx=3における接線の方程式を求めてください。
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接線が通る点と、その点での導関数の値を別々に求めます。
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解き方
- x=3でy=9−6=3なので、接点は(3,3)です。
- y′=2x−2より、接線の傾きは4です。
- 点と傾きの式からy−3=4(x−3)、したがってy=4x−9です。
答え
y=4x−9
検算・確かめ方
元の曲線と直線の差はx2−2x−(4x−9)=(x−3)2です。接点x=3で差が重なって0になることを確認できます。
標準
問題3 端点を含む最大最小
f(x)=x3−3xを閉区間−2≤x≤2で考えます。最大値・最小値と、それぞれを取るxをすべて求めてください。
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f′(x)=0となる点だけでなく、両端点の値も調べます。
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解き方
- f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)なので、区間内の停留点はx=−1,1です。
- 導関数は(−2,−1)で正、(−1,1)で負、(1,2)で正です。連続関数の閉区間での最大最小は、端点またはこれらの停留点に現れます。
- 値はf(−2)=−2、f(−1)=2、f(1)=−2、f(2)=2です。したがって最大値は2、最小値は−2です。
答え
最大値2はx=−1,2で、最小値−2はx=−2,1で取ります。
検算・確かめ方
端点を省くと、同じ最大値・最小値を取る点を見落とします。f(−x)=−f(x)という対称性も結果と一致します。
標準
問題4 定積分の計算
∫02(x2+1)dxを求めてください。
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x2+1の原始関数を一つ求め、上端と下端の値の差を取ります。
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解き方
- 原始関数の一つはF(x)=3x3+xです。実際にF′(x)=x2+1です。
- 微積分の基本定理から、∫02(x2+1)dx=F(2)−F(0)=38+2=314です。
答え
∫02(x2+1)dx=314
検算・確かめ方
区間内で被積分関数は正なので、積分も正です。∫02x2dx=38と、幅2・高さ1の長方形の面積2の和としても確かめられます。
標準
問題5 二曲線の間の面積
曲線y=xとy=x2に囲まれる有限な図形の面積を求めてください。
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交点を求め、その間で上の関数から下の関数を引きます。
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解き方
- 交点はx=x2よりx=0,1です。0≤x≤1ではx−x2=x(1−x)≥0なので、直線が放物線の上にあります。
- 面積は∫01(x−x2)dx=[2x2−3x3]01=21−31=61です。
答え
面積は61です。
検算・確かめ方
上下を逆にすると−61になり、面積として不適切です。交点の外の無限領域を積分範囲に含めないことも確認します。
発展
問題6 箱の体積を最大にする
一辺12の正方形の紙から、四隅に一辺xの正方形を切り取り、折り上げてふたのない箱を作ります。紙の厚さは無視します。0<x<6の範囲で体積を最大にするxと最大体積を求めてください。
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箱の高さと底面の一辺をxで表し、体積の増減を調べます。
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解き方
- 箱の高さはx、底面の一辺は12−2xなので、体積はV(x)=x(12−2x)2です。
- 微分するとV′(x)=(12−2x)2−4x(12−2x)=(12−2x)(12−6x)です。
- 0<x<6では第一因子が正です。したがって0<x<2で増加、2<x<6で減少し、x=2で最大になります。
- 最大体積はV(2)=2⋅82=128です。端へ近づくと体積は0へ近づくので、最大が内部で実現することとも一致します。
答え
x=2で最大となり、最大体積は128です。
検算・確かめ方
x=1では体積100、x=3では108です。これらの確認だけでは最大の証明にならず、全区間の増減が最大性を保証します。
参考資料・次に読む資料
資料確認日：2026-11-03。