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図形・座標の問題集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

三平方の定理、円の弦、余弦定理、外心、接線、中線の長さを練習します。図の見た目だけに頼らず、垂直・中点・距離という条件を式へ変換します。

目次

長さは同じ単位で測り、角度の単位を確認します。三角形は、特に断らない限り三頂点が一直線上にないものとします。

途中の平方根はできるだけ正確な形で残します。近似値だけで等しい・接するなどを判定せず、最後に条件へ戻って確認します。

問題に取り組む

基礎

問題1　直角三角形の長さと面積

直角を挟む二辺の長さが6,86,8の直角三角形について、斜辺の長さと面積を求めてください。

ヒントを見る

斜辺には三平方の定理、面積には底辺と高さを使います。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 斜辺の長さをc>0c>0とするとc2=62+82=100c^2=6^2+8^2=100なのでc=10c=10です。
  2. 長さ6,86,8の二辺は垂直なので、面積は12⋅6⋅8=24\frac12\cdot6\cdot8=24です。

答え

斜辺は1010、面積は2424です。

検算・確かめ方

6:8:10=3:4:56:8:10=3:4:5です。面積の単位は、辺の長さの単位を二乗したものになります。

基礎

問題2　中心から弦への垂線

半径55の円で、中心から弦を含む直線までの距離が33です。この弦の長さを求めてください。

ヒントを見る

中心から弦に下ろした垂線は、弦を二等分します。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 中心をOO、弦の端点をA,BA,B、垂線の足をMMとします。OA=OBOA=OBで直角三角形OMA,OMBOMA,OMBは合同なので、AM=BMAM=BMです。
  2. AM2=OA2−OM2=25−9=16AM^2=OA^2-OM^2=25-9=16よりAM=4AM=4です。したがって弦ABABの長さは88です。

答え

弦の長さは88です。

検算・確かめ方

弦の半分、中心からの距離、半径は4,3,54,3,5の直角三角形になります。弦88は直径1010より短いことも確認できます。

標準

問題3　二辺とその間の角から求める

三角形ABCABCでAB=5AB=5、AC=7AC=7、∠BAC=60∘\angle BAC=60^\circです。BCBCの長さと三角形の面積を求めてください。

ヒントを見る

BCBCには余弦定理、面積には12bcsin⁡A\frac12bc\sin Aを使います。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 余弦定理よりBC2=52+72−2⋅5⋅7cos⁡60∘=25+49−35=39BC^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos60^\circ=25+49-35=39です。よってBC=39BC=\sqrt{39}です。
  2. 面積は12⋅5⋅7sin⁡60∘=3534\frac12\cdot5\cdot7\sin60^\circ=\frac{35\sqrt3}{4}です。

答え

BC=39,面積=3534BC=\sqrt{39},\qquad \text{面積}=\frac{35\sqrt3}{4}

検算・確かめ方

A=(0,0)A=(0,0)、B=(5,0)B=(5,0)、C=(72,732)C=(\frac72,\frac{7\sqrt3}{2})と置くと、距離公式でもBC2=94+1474=39BC^2=\frac94+\frac{147}{4}=39となります。

標準

問題4　三点から外心を求める

座標平面上のA=(0,0)A=(0,0)、B=(6,0)B=(6,0)、C=(2,4)C=(2,4)を頂点とする三角形の外心と外接円の半径を求めてください。

ヒントを見る

外心は三頂点までの距離が等しい点です。まずOA2=OB2OA^2=OB^2を使います。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 外心をO=(u,v)O=(u,v)と置くと、u2+v2=(u−6)2+v2u^2+v^2=(u-6)^2+v^2からu=3u=3です。
  2. さらにOA2=OC2OA^2=OC^2より9+v2=1+(v−4)29+v^2=1+(v-4)^2です。整理すると8v=88v=8なのでv=1v=1です。
  3. 半径はOA=32+12=10OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}です。

答え

外心は(3,1)(3,1)、半径は10\sqrt{10}です。

検算・確かめ方

OB2=(−3)2+12=10OB^2=(-3)^2+1^2=10、OC2=12+(−3)2=10OC^2=1^2+(-3)^2=10で、三頂点までの距離が一致します。

標準

問題5　直線が円に接する条件

実数mmについて、直線y=mx+6y=mx+6が円x2+y2=9x^2+y^2=9に接するようなmmを求めてください。

ヒントを見る

円の中心から直線までの距離を、半径に等しくします。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 円の中心は原点、半径は33です。直線をmx−y+6=0mx-y+6=0と書くと、原点からの距離は6m2+1\frac6{\sqrt{m^2+1}}です。
  2. 接する条件は6m2+1=3\frac6{\sqrt{m^2+1}}=3です。両辺は正なので同値に平方でき、m2+1=4m^2+1=4を得ます。
  3. したがってm2=3m^2=3、すなわちm=±3m=\pm\sqrt3です。

答え

m=3,−3m=\sqrt3,\quad-\sqrt3

検算・確かめ方

円へ直線の式を代入すると(1+m2)x2+12mx+27=0(1+m^2)x^2+12mx+27=0です。判別式は36(m2−3)36(m^2-3)なので、重解の条件からも同じ結果を得ます。

発展

問題6　中線の長さを導いて求める

三角形ABCABCでAB=7AB=7、AC=5AC=5、BC=8BC=8です。BCBCの中点をMMとして、AMAMの長さを求めてください。中線の公式を使う場合は、その理由も示してください。

ヒントを見る

MMを原点とし、B=(−4,0)B=(-4,0)、C=(4,0)C=(4,0)、A=(u,v)A=(u,v)と置きます。

解答と途中式を見る

解き方

  1. この座標ではAB2=(u+4)2+v2AB^2=(u+4)^2+v^2、AC2=(u−4)2+v2AC^2=(u-4)^2+v^2です。足すとAB2+AC2=2(u2+v2)+32AB^2+AC^2=2(u^2+v^2)+32になります。
  2. AM2=u2+v2AM^2=u^2+v^2なので、49+25=2AM2+3249+25=2AM^2+32です。したがってAM2=21AM^2=21です。
  3. 長さは正なのでAM=21AM=\sqrt{21}です。この計算は一般にAB2+AC2=2AM2+12BC2AB^2+AC^2=2AM^2+\frac12BC^2という中線定理を示しています。

答え

AM=21AM=\sqrt{21}

検算・確かめ方

二つの距離の平方を引くと16u=2416u=24よりu=32u=\frac32です。するとv2=21−94=754>0v^2=21-\frac94=\frac{75}{4}>0で、条件を満たす非退化な三角形が存在します。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

幾何学ピタゴラスの定理三角関数ベクトル三角関数・三角形の公式集座標・ベクトルの公式集三平方の定理の相似による証明正弦定理・余弦定理の座標による証明