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不等式・最大最小の問題集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

符号表による不等式、相加相乗平均、平方和、三変数の評価を練習します。最小値・最大値を求めるときは、評価だけでなく等号を実現する値まで確認します。

目次
一辺aプラスbの正方形の周りに面積abの長方形4個を配置する。中央に一辺aマイナスbの正方形が残り、その面積が非負なので相加相乗の不等式が得られる。
相加相乗の不等式を面積で見る非負のaとbについて、(a＋b)²−4ab＝(a−b)²≥0です。a＋bも非負なので平方根を取り、相加平均が相乗平均以上であると分かります。等号はa＝bのときで、図では中央の余りがなくなる場合に対応します。図を拡大参考：MIT OCW：Mathematics for Computer Science

式を何で割るかによって、不等号の向きが変わることがあります。符号が不明な式を掛けたり割ったりする前に、場合分けを行ってください。

値の範囲を評価しても、その端を実現できなければ最大値・最小値とはいえません。すべての条件と等号成立条件を最後に照合します。

問題に取り組む

基礎

問題1　二次不等式と符号

x2−5x+6≤0x^2-5x+6\le0を解いてください。

ヒントを見る

因数分解し、二つの零点の内側と外側で符号を調べます。

解答と途中式を見る

解き方

  1. x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3)です。零点は2,32,3です。
  2. x<2x<2では両因子が負なので積は正、2<x<32<x<3では異符号なので負、x>3x>3では両因子が正なので正です。零点では積は00なので含めます。

答え

2≤x≤32\le x\le3

検算・確かめ方

区間内のx=52x=\frac52では−14<0-\frac14<0、区間外のx=0x=0では6>06>0です。端点はどちらも元の式を00にします。

基礎

問題2　分数不等式

x−1x+2>0\frac{x-1}{x+2}>0を解いてください。

ヒントを見る

分子と分母が同符号となる範囲を調べます。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 定義域はx≠−2x\ne-2です。分子の零点11と分母の零点−2-2で数直線を区切ります。
  2. x<−2x<-2では分子と分母がともに負、x>1x>1ではともに正なので、分数は正です。−2<x<1-2<x<1では負です。
  3. x=1x=1では値が00であり、厳密な不等号>0>0を満たしません。

答え

x<−2またはx>1x<-2\quad\text{または}\quad x>1

検算・確かめ方

x=−3x=-3で値は4>04>0、x=0x=0で−12<0-\frac12<0、x=2x=2で14>0\frac14>0です。分母を無条件に掛けると符号を落とすので注意します。

標準

問題3　和が一定のときの積の最大値

a,b>0a,b>0、a+b=10a+b=10のとき、ababの最大値と、それを実現するa,ba,bを求めてください。

ヒントを見る

(a−b)2≥0(a-b)^2\ge0をa+ba+bとababで表します。

解答と途中式を見る

解き方

  1. (a−b)2=(a+b)2−4ab≥0(a-b)^2=(a+b)^2-4ab\ge0なので、100−4ab≥0100-4ab\ge0、すなわちab≤25ab\le25です。
  2. 等号はa=ba=bのときに限ります。和が1010なのでa=b=5a=b=5となり、これは正という条件も満たします。

答え

最大値は2525。a=b=5a=b=5で達成します。

検算・確かめ方

a=5+t,b=5−ta=5+t,b=5-tと置けばab=25−t2ab=25-t^2です。許される−5<t<5-5<t<5の範囲で、t=0t=0のとき最大になります。

標準

問題4　正の数と逆数の和

x>0x>0のとき、x+9xx+\frac9xの最小値と、それを実現するxxを求めてください。

ヒントを見る

候補の値を引き、分母が正の平方の形にします。

解答と途中式を見る

解き方

  1. x+9x−6=x2−6x+9x=(x−3)2xx+\frac9x-6=\frac{x^2-6x+9}{x}=\frac{(x-3)^2}{x}
  2. x>0x>0なので右辺は非負です。したがってx+9x≥6x+\frac9x\ge6です。
  3. 等号はx−3=0x-3=0、つまりx=3x=3のときに限り、この値は定義域に含まれます。

答え

最小値は66。x=3x=3で達成します。

検算・確かめ方

相加相乗平均でも、x+9x≥2x⋅9x=6x+\frac9x\ge2\sqrt{x\cdot\frac9x}=6です。等号条件x=9xx=\frac9xとx>0x>0からx=3x=3を得ます。

標準

問題5　三変数の平方和

任意の実数a,b,ca,b,cに対し、a2+b2+c2≥ab+bc+caa^2+b^2+c^2\ge ab+bc+caを証明し、等号成立条件を求めてください。

ヒントを見る

左辺から右辺を引き、三つの差の平方で表します。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 恒等式(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=2(a2+b2+c2−ab−bc−ca)(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)が成り立ちます。
  2. 左辺の各平方は非負なので、右辺も非負です。両辺を22で割れば求める不等式を得ます。
  3. 和が00となるには三つの平方がすべて00でなければなりません。したがって等号はa=b=ca=b=cのときに限ります。

答え

a2+b2+c2≥ab+bc+caa^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca。等号はa=b=ca=b=cのときです。

検算・確かめ方

a=b=c=ta=b=c=tでは両辺が3t23t^2で一致します。各変数が負でも平方による証明は有効です。

発展

問題6　積の条件と二段階の評価

x,y,z>0x,y,z>0、xyz=1xyz=1のとき、x2+y2+z2≥x+y+zx^2+y^2+z^2\ge x+y+zを証明し、等号成立条件を求めてください。

ヒントを見る

S=x+y+zS=x+y+zと置き、まずSSの下限、次に平方和とS2S^2の関係を調べます。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 三数の相加相乗平均より、S=x+y+z≥3xyz3=3S=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3です。
  2. 平方和の不等式から3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=S23(x^2+y^2+z^2)\ge(x+y+z)^2=S^2です。したがってx2+y2+z2≥S23x^2+y^2+z^2\ge\frac{S^2}{3}となります。
  3. S≥3S\ge3なのでS23≥S\frac{S^2}{3}\ge Sです。この二つをつなげると求める不等式が得られます。
  4. 等号にはS=3S=3とx=y=zx=y=zが必要です。積が11で正なので、x=y=z=1x=y=z=1です。この値で確かに等号となります。

答え

x2+y2+z2≥x+y+zx^2+y^2+z^2\ge x+y+z。等号はx=y=z=1x=y=z=1のときです。

検算・確かめ方

x=2,y=1,z=12x=2,y=1,z=\frac12では積が11で、平方和214\frac{21}{4}は和72\frac72以上です。等号判定では二段階の評価をともに確認します。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

代数学方程式関数式・方程式・不等式の公式集相加平均・相乗平均の不等式と等号条件コーシー・シュワルツの不等式の証明