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指数・対数の公式集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

指数と対数の計算、底の変換、大小関係をまとめます。実数の対数では底と真数に条件があり、底が1より小さいと不等号の向きが変わります。

目次

指数の積と商

axay=ax+y,axay=ax−ya^xa^y=a^{x+y},\qquad\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}

条件：a>0, x,y∈Ra>0,\ x,y\in\mathbb R。整数指数の場合は範囲を拡張できるが0で割らない。

積は指数の和、商は指数の差。和の ax+aya^x+a^y には使わない。

例：35/32=33=273^5/3^2=3^3=27。

累乗の累乗

(ax)y=axy(a^x)^y=a^{xy}

条件：a>0, x,y∈Ra>0,\ x,y\in\mathbb R。

負の底に実数指数の公式を無条件で使わない。

例：(23)4=212(2^3)^4=2^{12}。

零・負・分数の指数

a0=1,a−x=1ax,am/n=amna^0=1,\quad a^{-x}=\frac1{a^x},\quad a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}

条件：a>0a>0。mm は整数、nn は正整数。

000^0 をこの公式から定めない。正の底なら根は正の実数を取る。

例：163/4=(164)3=816^{3/4}=(\sqrt[4]{16})^3=8。

対数の定義

log⁡ax=y  ⟺  ay=x\log_a x=y\iff a^y=x

条件：a>0, a≠1, x>0a>0,\ a\ne1,\ x>0。

対数は「何乗か」を表す。log⁡a1=0, log⁡aa=1\log_a1=0,\ \log_aa=1。

例：log⁡232=5\log_2 32=5。

積・商の対数

log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay,log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y

条件：a>0, a≠1, x,y>0a>0,\ a\ne1,\ x,y>0。

和の対数を対数の和にはできない。

例：log⁡212−log⁡23=log⁡24=2\log_2 12-\log_2 3=\log_2 4=2。

累乗の対数

log⁡a(xr)=rlog⁡ax\log_a(x^r)=r\log_a x

条件：a>0, a≠1, x>0, r∈Ra>0,\ a\ne1,\ x>0,\ r\in\mathbb R。

x<0x<0 で x2>0x^2>0 でも右辺の log⁡ax\log_a x は実数で定義されない。

例：log⁡327=12log⁡327=3/2\log_3\sqrt{27}=\tfrac12\log_3 27=3/2。

底の変換

log⁡ax=log⁡bxlog⁡ba\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}

条件：a,b>0, a,b≠1, x>0a,b>0,\ a,b\ne1,\ x>0。

計算機で使う自然対数や常用対数へ変換できる。

例：log⁡48=log⁡28/log⁡24=3/2\log_4 8=\log_2 8/\log_2 4=3/2。

指数関数と対数関数の逆関係

alog⁡ax=x,log⁡a(at)=ta^{\log_a x}=x,\qquad\log_a(a^t)=t

条件：a>0, a≠1, x>0, t∈Ra>0,\ a\ne1,\ x>0,\ t\in\mathbb R。

定義域を確認してから指数と対数を打ち消す。

例：2log⁡27=72^{\log_2 7}=7。

指数関数の大小関係

a>1: ax<ay  ⟺  x<y,0<a<1: ax<ay  ⟺  x>ya>1:\ a^x<a^y\iff x<y,\qquad0<a<1:\ a^x<a^y\iff x>y

条件：実数 x,yx,y。底は正で1以外。

底が0と1の間なら単調減少なので向きが反転する。

例：(1/2)x<1/8(1/2)^x<1/8 は x>3x>3。

対数関数の大小関係

a>1: log⁡ax<log⁡ay  ⟺  x<y,0<a<1: log⁡ax<log⁡ay  ⟺  x>ya>1:\ \log_a x<\log_a y\iff x<y,\qquad0<a<1:\ \log_a x<\log_a y\iff x>y

条件：x,y>0x,y>0。底は正で1以外。

真数条件と不等号の向きを両方確認する。

例：log⁡1/2x>2\log_{1/2}x>2 は 0<x<1/40<x<1/4。

確認問題

log⁡2(x−1)+log⁡2(x+1)=3\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3 を実数で解いてください。

解答と考え方を見る

真数条件より x>1x>1。log⁡2[(x−1)(x+1)]=3\log_2[(x-1)(x+1)]=3 だから x2−1=8x^2-1=8。候補は x=±3x=\pm3 ですが、条件を満たす x=3x=3 だけです。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

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