√2が無理数であることの証明

小数をたくさん計算しても、その先が循環しないことまでは分かりません。√2の無理性は、既約分数と偶奇の性質を組み合わせて証明できます。「有理数だとすると何が破綻するか」を追う、背理法の基本例です。

成立する条件

有理数は整数の比で表せる実数です。分数は分子と分母を最大公約数で割り、分母を正にして既約形にできます。

偶数は $2m$、奇数は $2m+1$（$m$ は整数）と表せます。「平方が偶数なら元も偶数」という補題を使います。

証明

1. 補題を先に示します。整数 $t$ が奇数なら、$t=2m+1$ と書けて、$$t^2=4m^2+4m+1=2(2m^2+2m)+1$$ も奇数です。対偶を取ると、$t^2$ が偶数なら $t$ は偶数です。
2. ここで $\sqrt2$ が有理数であると仮定します。正整数 $p,q$ を用いて $\sqrt2=p/q$ と既約形で表し、$\gcd(p,q)=1$ とできます。
3. 両辺を二乗して分母を払うと $p^2=2q^2$。右辺が偶数なので $p^2$ は偶数であり、補題から $p$ も偶数です。そこで $p=2r$ と置きます。
4. 代入すると $4r^2=2q^2$、したがって $q^2=2r^2$ です。同じ補題により $q$ も偶数になります。すると $p,q$ は共通因数 $2$ を持ち、既約であるという仮定に矛盾します。
5. 矛盾は「$\sqrt2$ が有理数」という仮定から生じました。よってその仮定は誤りであり、$\sqrt2$ は無理数です。途中で小数展開の性質を仮定していない点が重要です。

使ってみる

同じ考え方で、素数 $p$ の平方根 $\sqrt p$ も無理数と示せます。ただしその場合は「$p$ が $u^2$ を割り切るなら $u$ を割り切る」という素数の性質が必要です。

$\sqrt8=2\sqrt2$ も無理数です。もし $\sqrt8$ が有理数なら、それを非零有理数 $2$ で割った $\sqrt2$ も有理数となり、証明済みの結果に反します。

注意点

分子と分母がともに偶数になること自体は矛盾ではありません。最初に「既約形」としたからこそ矛盾になります。また、分母が $0$ の分数は使えません。

関連項目