関数

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関数（function）は、ある集合の各要素に対して別の集合の要素をただ1つ対応させる規則である。

基本例

f(x)=x² なら f(2)=4, f(-3)=9 である。入力側の集合を定義域、出力として実際に得られる値の集合を値域という。

一次関数 ax+b、二次関数 ax²+bx+c、指数関数 aˣ、三角関数などがある。

関数は単なる数式に限られず、集合から集合への写像として定義される。解析学、線形代数学、確率論など広い分野で中心的に用いられる。

f:A→Bと書くときAが定義域、Bが終域で、実際に現れる出力の集合f(A)が像である。f(x)=x²を実数全体から実数全体への関数とすると、像は[0,∞)であり終域より小さい。式が同じでも定義域や終域を変えると、全単射かどうかなどの性質が変わる。

実数上のx²は2と−2をともに4へ送るので、出力4から元の入力を一つに戻せない。定義域を[0,∞)、終域も[0,∞)にすると一対一かつ全射になり、逆関数√xを持つ。単射は異なる入力が異なる出力を持つこと、全射は終域の全要素が出力として現れることである。

f(x)=x+1、g(x)=x²なら(f∘g)(x)=x²+1だが、(g∘f)(x)=(x+1)²であり一般には異なる。合成するときは内側の関数の像が外側の定義域へ入るかも確認する。関数は数式で表せる必要はなく、文字列から長さへの対応や、人物から生年月日への対応も関数になり得る。

f:ℝ→ℝ、f(x)=2x+3の逆関数を求めよ。

解答と考え方を見る

y=2x+3からx=(y−3)/2となるので、f⁻¹(x)=(x−3)/2。両方向の合成が恒等関数になることでも確認できる。

資料確認日：2026-10-12。