積分

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積分（integration）は、微小な量を連続的に足し合わせる考え方であり、面積・体積・確率などに使われる。

定積分

∫ₐᵇ f(x) dx

適切な条件のもとで、関数のグラフとx軸の間の符号付き面積と解釈できる。

F′(x)=f(x) を満たす F を原始関数といい、

∫ f(x) dx = F(x)+C

と書く。

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b)-F(a)

微分と積分を結びつける中心定理である。

区間を短い幅Δxᵢに分け、各小区間の代表点ξᵢでf(ξᵢ)Δxᵢを足す。分割の最大幅を0へ近づけたとき、分け方や代表点によらず同じ値に収束すれば、その値がリーマン積分となる。連続関数は閉区間でリーマン積分可能である。負の関数値は負の寄与になるので、定積分は常に図形の面積そのものではない。

連続なfについてF(x)=∫ₐˣf(t)dtと置く。差分F(x+h)−F(x)は短い区間の積分で、hで割るとその区間でのfの平均値になる。h→0で平均値がf(x)へ近づくためF′(x)=f(x)となる。この関係から、微分の逆を使って面積を計算できる。

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3

∫2x cos(x²)dxではu=x²と置くとdu=2x dxなのでsin(x²)+Cとなる。定積分なら積分区間もuの値に変える。一方、∫₋₁¹x dx=0だが、グラフとx軸の間の面積は∫₋₁¹|x|dx=1である。移動距離を求めるときも、速度の積分で得る変位と、速さの積分で得る距離を区別する。

∫₀¹3x²dxを求め、原始関数を微分して確認せよ。

解答と考え方を見る

原始関数はx³なので1³−0³=1。微分すると3x²へ戻る。不定積分として書く場合は積分定数Cを付ける。

資料確認日：2026-10-12。