三平方の定理の相似による証明

直角三角形の辺の長さには、三平方の定理が成り立ちます。斜辺への高さを引くと、もとの三角形と相似な二つの三角形が現れます。その対応を使って、辺の二乗と斜辺の部分の長さを結び付けます。

成立する条件

平面上のユークリッド幾何における三角形を扱います。三辺は正で、一直線につぶれた図形は除きます。

直角辺を取り違えず、直角の向かいにある最長の辺を斜辺とします。円や曲面上の測地線から作る三角形へそのまま適用はできません。

証明

1. $\angle C=90^\circ$ の三角形 $ABC$ を考え、$BC=a$、$CA=b$、$AB=c$ とします。$C$ から斜辺 $AB$ へ垂線を下ろし、その足を $D$ とします。二つの鋭角があるため、$D$ は辺 $AB$ の内部にあります。
2. $\triangle ACD$ と $\triangle ABC$ は、角 $A$ が共通で、それぞれ $D,C$ の角が直角なので相似です。対応する辺の比から $AC/AB=AD/AC$、したがって $b^2=c\,AD$ を得ます。
3. 同様に $\triangle BCD$ と $\triangle BAC$ は、角 $B$ が共通で直角を持つため相似です。$BC/BA=BD/BC$ となり、$a^2=c\,BD$ です。
4. 二式を加えると、$$a^2+b^2=c(AD+BD)=c\,AB=c^2.$$ これで直角三角形に対する等式が証明されました。相似を使う際は、同じ位置の文字ではなく等しい角の対応で辺を選びます。
5. 逆を示します。辺長 $a,b$ を直角に配置した三角形を別に作ると、証明済みの定理から斜辺の長さは $\sqrt{a^2+b^2}=c$ です。元の三角形と三辺がそれぞれ等しいので三辺相等で合同です。よって元の $c$ に対する角も直角です。

使ってみる

直角辺が $5,12$ なら、斜辺は $\sqrt{25+144}=13$。一方、三辺が $7,24,25$ の三角形では $7^2+24^2=25^2$ なので、逆によって最長辺 $25$ の向かいが直角と分かります。

平面上の二点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ の距離は、座標軸に平行な直角辺を作れば $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ と導けます。

注意点

任意の三角形で $a^2+b^2=c^2$ が成り立つわけではありません。角が直角でない場合は、余弦定理の項 $-2ab\cos C$ が必要です。

関連項目