ピタゴラスの定理

直角三角形の辺の長さの関係を表す基本定理である。

定理

直角をはさむ2辺を a,b、斜辺を c とすると、

例

したがって辺の長さ3,4,5の三角形は直角三角形である。

逆とピタゴラス数

三角形の辺が a²+b²=c² を満たせば、その三角形は直角三角形である。整数の組 (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) などはピタゴラス数と呼ばれる。

面積を使った証明

直角を挟む辺がa,b、斜辺がcの合同な直角三角形を4枚用意する。一辺a+bの正方形の四隅に配置すると、中央に一辺cの正方形が残る。中央の角が直角なのは、元の三角形の二つの鋭角の和が90度だからである。全体の面積を二通りに表して整理すると定理が導かれる。

例：座標間の距離

点A=(−1,2)、B=(3,5)の横方向の差は4、縦方向の差は3なので距離は√(4²+3²)=5になる。三次元でも直角三角形を二段階で使うと、距離は√{(Δx)²+(Δy)²+(Δz)²}となる。ベクトルの長さを成分から求める公式は、この定理の拡張として理解できる。

適用条件と余弦定理

辺の長さを三つ並べただけでは、どの辺をcとするか決まらない。cは直角の向かいの最長辺である。一般の三角形にはc²=a²+b²−2ab cos Cという余弦定理を使い、C=90度のときにピタゴラスの定理へ戻る。また球面の三角形など、平面のユークリッド幾何学以外にはそのまま適用できない。

関連項目