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微分・積分の公式集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

基本関数の微分・積分から合成関数、置換積分、部分積分までをまとめます。三角関数の変数はラジアン、不定積分の定数はCとします。

目次

べき関数と線形性の微分

ddxxr=rxr−1,(af+bg)′=af′+bg′\frac d{dx}x^r=rx^{r-1},\qquad(af+bg)^\prime=af^\prime+bg^\prime

条件：一般の実数 rr では x>0x>0。正整数 rr の多項式は全実数。r=0r=0 は定数として微分し0。a,ba,b は定数。

定数の微分は0。係数と指数の役割を区別する。

例：(3x4−2x+7)′=12x3−2(3x^4-2x+7)^\prime=12x^3-2。

積と商の微分

(fg)′=f′g+fg′,(fg)′=f′g−fg′g2(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime,\qquad\left(\frac fg\right)^\prime=\frac{f^\prime g-fg^\prime}{g^2}

条件：f,gf,g は微分可能。商の公式では g≠0g\ne0。

積の微分を微分どうしの積にしない。

例：(xex)′=(1+x)ex(xe^x)^\prime=(1+x)e^x。

合成関数の微分

ddxf(g(x))=f′(g(x))g′(x)\frac d{dx}f(g(x))=f^\prime(g(x))g^\prime(x)

条件：内側gがxで微分可能、外側fがg(x)で微分可能。

外側を微分した後、内側の微分を掛ける。

例：{(2x+1)5}′=10(2x+1)4\{(2x+1)^5\}^\prime=10(2x+1)^4。

指数・対数の微分

(ex)′=ex,(ax)′=axln⁡a,(ln⁡∣x∣)′=1x(e^x)^\prime=e^x,\quad(a^x)^\prime=a^x\ln a,\quad(\ln|x|)^\prime=\frac1x

条件：a>0a>0。ln⁡∣x∣\ln|x| は x≠0x\ne0 の各区間で考える。

自然対数以外には底による係数が付く。

例：(log⁡ax)′=1/(xln⁡a)(\log_a x)^\prime=1/(x\ln a)（x>0,a>0,a≠1x>0,a>0,a\ne1）。

三角関数の微分

(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x,(tan⁡x)′=1cos⁡2x(\sin x)^\prime=\cos x,\quad(\cos x)^\prime=-\sin x,\quad(\tan x)^\prime=\frac1{\cos^2x}

条件：xx はラジアン。正接は cos⁡x≠0\cos x\ne0。

度数法の変数をそのまま代入しない。

例：(sin⁡3x)′=3cos⁡3x(\sin3x)^\prime=3\cos3x。

べき関数と対数の積分

∫xr dx=xr+1r+1+C (r≠−1),∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int x^r\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C\ (r\ne-1),\qquad\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C

条件：一般の実数指数では x>0x>0。1/x1/x は0を含まない区間。

不定積分は原始関数の集まり。Cは区間ごとの任意定数。

例：∫x dx=23x3/2+C\int\sqrt x\,dx=\tfrac23x^{3/2}+C（x>0x>0）。

指数・三角関数の積分

∫ex dx=ex+C,∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C,∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int e^x\,dx=e^x+C,\quad\int\sin x\,dx=-\cos x+C,\quad\int\cos x\,dx=\sin x+C

条件：三角関数はラジアン。

微分して元の被積分関数に戻るかを確認する。

例：∫e2x dx=12e2x+C\int e^{2x}\,dx=\tfrac12e^{2x}+C。

置換積分

∫abf(g(x))g′(x) dx=∫g(a)g(b)f(u) du\int_a^b f(g(x))g^\prime(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du

条件：gは区間上で連続微分可能、fはgの値域を含む区間で連続。

変数を変えたら積分区間と微分要素も変える。

例：∫012xex2 dx=∫01eu du=e−1\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx=\int_0^1 e^u\,du=e-1。

部分積分

∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\int_a^b f(x)g^\prime(x)\,dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f^\prime(x)g(x)\,dx

条件：f,gは閉区間上で連続微分可能とする。

積の微分を積分した公式。境界項を忘れない。

例：∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx=1\int_0^1 xe^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=1。

微積分の基本定理

ddx∫axf(t) dt=f(x),∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\frac d{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x),\qquad\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

条件：fは閉区間で連続、Fはその原始関数。微分の式は区間の内部で成立。

面積の蓄積と変化率を結ぶ。符号付き積分と幾何学的面積は区別する。

例：∫023x2 dx=[x3]02=8\int_0^2 3x^2\,dx=[x^3]_0^2=8。

確認問題

∫1ex−1 dx\int_1^e x^{-1}\,dx を求めてください。べき関数の積分公式をそのまま使えますか。

解答と考え方を見る

指数が −1-1 なので xn+1/(n+1)x^{n+1}/(n+1) は使えません。∫1e1/x dx=[ln⁡x]1e=1\int_1^e1/x\,dx=[\ln x]_1^e=1 です。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

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