行列式

行列式（determinant）は、正方行列に対して定義される1つの数で、線形変換による体積の倍率や可逆性を表す。

2次正方行列

2×2 行列 [[a,b],[c,d]] の行列式は ad-bc である。行列式が0なら、その線形変換は空間を低い次元へ押しつぶす。

可逆性

正方行列 A が逆行列を持つことと det A≠0 は同値である。したがって行列式は連立一次方程式の解の一意性とも関係する。

幾何学的意味

行列式の絶対値は面積・体積の拡大率を表し、符号は向きが保存されたか反転したかを表す。

面積の倍率が式になる理由

列ベクトルu=(a,c)、v=(b,d)が張る平行四辺形の向き付き面積はad−bcである。二つの列が平行なら面積は0となり、平面全体を復元できない。行列式はこの考えを高次元へ一般化したもので、列に関する多重線形性、列を交換したときの符号反転、単位行列の値が1という性質で特徴付けられる。

例：連立方程式と逆行列

A=[[2,1],[1,3]]ならdet A=6−1=5である。逆行列は(1/5)[[3,−1],[−1,2]]なので、Ax=(5,5)ᵀの解はx=(2,1)ᵀになる。幾何学的には面積を5倍にする変換であり、逆変換の倍率は1/5となる。

計算の性質と使い所

ある行に別の行の定数倍を加えても行列式は変わらない。行の交換で符号が反転し、行の定数倍で行列式もその倍率になる。これを使い三角行列へ変形すれば、対角成分の積から効率よく求められる。ただしdet(A+B)=det A+det Bは一般には成り立たない。大きな連立方程式は、通常クラメルの公式より消去法で解く方が実用的である。

関連項目