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複素数・行列の公式集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

複素数の共役・極形式と、行列の積・行列式・逆行列・固有値をまとめます。実数の場合との違い、行列の積の順序、逆行列が存在する条件に注意します。

目次

虚数単位の周期

i2=−1,i3=−i,i4=1,in+4=ini^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,\quad i^{n+4}=i^n

条件：nは整数。iは i2=−1i^2=-1 を満たす虚数単位。

指数を4で割った余りで整理する。

例：i2026=i2=−1i^{2026}=i^2=-1。

共役と絶対値

z=a+bi,zˉ=a−bi,∣z∣=a2+b2,zzˉ=∣z∣2z=a+bi,\quad\bar z=a-bi,\quad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad z\bar z=|z|^2

条件：a,ba,b は実数。

複素数では z2z^2 と ∣z∣2|z|^2 は別物。

例：∣3−4i∣=5|3-4i|=5。

複素数の商

zw=zwˉ∣w∣2\frac zw=\frac{z\bar w}{|w|^2}

条件：w≠0w\ne0。

分母・分子に分母の共役を掛け、分母を実数にする。

例：(1+i)/(1−i)=i(1+i)/(1-i)=i。

極形式の積

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ),w=s(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ),zw=rs{cos⁡(θ+ϕ)+isin⁡(θ+ϕ)}z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\quad w=s(\cos\phi+i\sin\phi),\quad zw=rs\{\cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi)\}

条件：z,w≠0, r=∣z∣,s=∣w∣z,w\ne0,\ r=|z|,s=|w|。角は 2π2\pi の整数倍の違いを同一視。

絶対値は掛け、偏角は足す。

例：絶対値2、偏角 π/3\pi/3 の数を2乗すると、絶対値4、偏角 2π/32\pi/3。

ド・モアブルの定理

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

条件：nは整数、角はラジアン。

複素数の累乗を回転として計算する。任意の実数指数にはそのまま拡張しない。

例：(cos⁡(π/4)+isin⁡(π/4))4=−1(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^4=-1。

1のn乗根

zk=cos⁡2πkn+isin⁡2πkn,k=0,…,n−1z_k=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n},\qquad k=0,\ldots,n-1

条件：n≥1n\ge1 の整数。zn=1z^n=1 の相異なるn個の解。

複素平面の単位円を等分する点になる。

例：1の4乗根は 1,i,−1,−i1,i,-1,-i。

行列の積

(AB)ij=∑k=1naikbkj(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

条件：Aは m×nm\times n、Bは n×pn\times p。積ABは m×pm\times p。

内側のサイズを合わせ、左の行と右の列を掛けて足す。一般にABとBAは異なる。

例：(1201)(3042)=(11442)\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11&4\\4&2\end{pmatrix}。

2次行列の行列式と逆行列

det⁡A=ad−bc,A−1=1ad−bc(d−b−ca)\det A=ad-bc,\qquad A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

条件：A=(abcd)A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}。逆行列は ad−bc≠0ad-bc\ne0 の場合だけ。

逆行列を掛ける順序を保つ。

例：(2111)−1=(1−1−12)\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}。

行列式の積と逆行列の順序

det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B,(AB)−1=B−1A−1\det(AB)=\det A\det B,\qquad(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

条件：A,Bは同じ次数の正方行列。逆行列の式では両方が可逆。

逆行列では操作を逆の順番に戻す。

例：ABB−1A−1=IABB^{-1}A^{-1}=I となる。

2次行列の固有方程式

det⁡(λI−A)=λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\det(\lambda I-A)=\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0

条件：Aは 2×22\times2 行列。固有ベクトルは0でないベクトル。

トレースは対角成分の和。固有値を重複度込みで数える。

例：A=(2112)A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} なら λ2−4λ+3=0\lambda^2-4\lambda+3=0、固有値1と3。

確認問題

A=(1224)A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} に逆行列はありますか。

解答と考え方を見る

det⁡A=1⋅4−2⋅2=0\det A=1\cdot4-2\cdot2=0 なので逆行列はありません。逆行列の公式で0除算はできません。2行目は1行目の2倍で、独立な情報が失われています。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

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