微分

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微分（differentiation）は、関数の局所的な変化率を調べる方法である。

定義

f′(x)=lim(h→0) [f(x+h)-f(x)] / h

この極限が存在するとき、その値を微分係数という。

[(x+h)²-x²]/h = 2x+h → 2x

したがって f(x)=x² なら f′(x)=2x である。

グラフでは接線の傾き、物理では位置の微分が速度、速度の微分が加速度になる。最適化や微分方程式にも不可欠である。

微分可能な関数u,vについて、積は(uv)′=u′v+uv′、合成関数は(f∘g)′(x)=f′(g(x))g′(x)となる。合成関数では内側の変化率を掛け忘れないことが重要である。積の公式は、差分にu(x+h)v(x)を加減して二つの差分へ分け、極限を取ると導ける。

[(x²+1)³]′ = 3(x²+1)²×2x = 6x(x²+1)²

f(x)=√xをx=4付近で考える。f(4)=2、f′(4)=1/4だから接線はy=2+(x−4)/4である。x=4.04なら√4.04≈2.01と見積もれる。これは曲線を近くで直線に置き換える一次近似であり、離れた点でも同じ精度が保証されるわけではない。

区間内部の微分可能な極値点ではf′=0となるが、その逆は成り立たない。f(x)=x³は0で導関数が0でも増加を続ける。極大・極小を判断するには導関数の符号変化などを確認する。また|x|は0で連続だが微分できないため、最大・最小を探す際は微分不能点と区間の端点も候補に含める。

f(x)=x²−6x+5の最小値を求めよ。

解答と考え方を見る

f′=2x−6なのでx=3が候補。導関数は負から正へ変わり、f(3)=−4が最小値となる。平方完成f(x)=(x−3)²−4でも確認できる。

資料確認日：2026-10-12。