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線形代数学

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線形代数学（linear algebra）は、ベクトル、行列、線形写像などを研究する分野である。

ベクトル

ベクトルは大きさと向き、あるいは複数の成分を持つ量として表される。例えば (2,3) は2次元ベクトルである。

数を長方形状に並べたものを行列という。行列は連立一次方程式や線形変換を表す。

Av=λv

0でないベクトルvがこの式を満たすとき、λを固有値、vを固有ベクトルという。物理、統計、機械学習などに広く現れる。

ベクトルの集まりが一次独立とは、それらの線形結合が0になるのが、係数をすべて0にしたときだけであることをいう。空間全体を張る一次独立な組を基底と呼び、その個数が次元になる。平面では(1,0),(0,1)が基底だが、(1,0),(2,0)だけでは縦方向を表せず基底にならない。

A=[[2,1],[1,2]]では、v=(1,1)に作用させると(3,3)=3vになる。w=(1,−1)には(1,−1)=wとなる。vとwを基底に選べば、Aは各方向を3倍、1倍にする変換として理解できる。複雑に見える混合が、座標系を変えると独立した伸縮へ分かれた。

dim(核 A) + rank(A) = 入力空間の次元

Ax=bに解があるのはbがAの列空間に入るときである。解が存在しても、Ax=0に0以外の解があれば一意ではない。測定データなどで厳密な解がない場合は、残差‖Ax−b‖²を最小にする。列が一次独立ならAᵀAx=Aᵀbから一意に求められるが、数値計算ではQR分解などが安定性のために使われる。

(1,1)と(2,2)は一次独立か。

解答と考え方を見る

一次従属である。2(1,1)−(2,2)=0という、係数がすべて0ではない関係がある。この二本が張るのは平面全体でなく一本の直線。

資料確認日：2026-10-12。