数列

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数列（sequence）は、一定の規則または順序に従って並べられた数の列である。

数列の表し方

数列は a₁,a₂,a₃,… のように表す。一般項 a_n を与えることで、n 番目の項を直接指定できる。

隣接する項の差が一定のものを等差数列、比が一定のものを等比数列という。フィボナッチ数列のように漸化式で定義される数列もある。

n を無限に大きくしたとき a_n が一定値へ近づくなら、その数列は収束する。収束の考え方は極限と解析学の基礎になる。

等差数列aₙ=a₁+(n−1)dでは、最初と最後、二番目と最後から二番目の和が等しいのでSₙ=n(a₁+aₙ)/2となる。等比数列ではSₙとrSₙを引くと中間の項が消え、r≠1ならSₙ=a₁(1−rⁿ)/(1−r)が得られる。r=1は別に扱いSₙ=na₁である。

1+1/2+1/4+…の第n項までの和は2(1−2⁻ⁿ)なので、n→∞で2へ収束する。無限個の正の項を足しても、和が有限になることがある。一方、各項が0へ近づくだけでは十分でなく、調和級数1+1/2+1/3+…は発散する。2の累乗ごとに項をまとめると、各群の和が少なくとも1/2になるためである。

aₙ₊₁=2aₙという規則だけでは数列は決まらず、a₁を与えて初めて一般項aₙ=a₁2ⁿ⁻¹が定まる。繰り返し計算で得た数値に丸め誤差がある場合、その誤差も漸化式で増幅され得る。数列の収束と、その計算方法の安定性は別に確認する必要がある。

a₁=3、公差2の等差数列の第10項と最初の10項の和を求めよ。

解答と考え方を見る

第10項は3+9×2=21。和は10(3+21)/2=120となる。添字が1から始まるので、公差を足す回数は9回。

資料確認日：2026-10-12。