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整数・証明の問題集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

ユークリッドの互除法、倍数、余り、不定方程式、割り切れる条件、無理数の証明を扱います。具体的な計算と、すべての整数について成り立つ論証を区別して練習します。

目次

整数問題では、文字が整数・自然数・正の整数のどれかを必ず確認します。ここで正の整数は1,2,3,…1,2,3,\ldotsです。

多数の例を調べても、全称命題の証明にはなりません。余り、素因数、連続する整数の構造を使って、すべての場合を覆います。

問題に取り組む

基礎

問題1　最大公約数と一次結合

252252と198198の最大公約数を求め、それを252u+198v252u+198vの形で表してください。u,vu,vは整数です。

ヒントを見る

互除法を実行し、最後の非零の余りから式を逆にたどります。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 252=198+54252=198+54、198=3⋅54+36198=3\cdot54+36、54=36+1854=36+18、36=2⋅1836=2\cdot18です。最後の非零の余りは1818なので最大公約数は1818です。
  2. 18=54−36=54−(198−3⋅54)=4⋅54−19818=54-36=54-(198-3\cdot54)=4\cdot54-198です。
  3. 54=252−19854=252-198を戻すと、18=4⋅252−5⋅19818=4\cdot252-5\cdot198を得ます。

答え

最大公約数は1818。一例はu=4,v=−5u=4,v=-5です。

検算・確かめ方

252=14⋅18252=14\cdot18、198=11⋅18198=11\cdot18で、1414と1111は互いに素です。また1008−990=181008-990=18です。

基礎

問題2　連続する三整数

すべての整数nnについて、n3−nn^3-nが66の倍数であることを証明してください。

ヒントを見る

因数分解すると、連続する三つの整数の積になります。

解答と途中式を見る

解き方

  1. n3−n=n(n−1)(n+1)n^3-n=n(n-1)(n+1)です。この三つは連続する整数です。
  2. 連続する三整数には33の倍数が必ず一つ含まれます。また、少なくとも一つは偶数です。
  3. したがって積は22と33の両方で割り切れます。22と33は互いに素なので、積は66で割り切れます。

答え

すべての整数nnで6∣(n3−n)6\mid(n^3-n)が成り立ちます。

検算・確かめ方

n=0n=0や負の整数でも連続する三整数という議論は成立します。n=2n=2では8−2=68-2=6、n=−2n=-2では−8+2=−6-8+2=-6です。

標準

問題3　大きなべきの余り

720267^{2026}を55で割った余りを求めてください。

ヒントを見る

7≡2(mod5)7\equiv2\pmod5として、小さなべきの周期を調べます。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 7≡2(mod5)7\equiv2\pmod5なので、72026≡22026(mod5)7^{2026}\equiv2^{2026}\pmod5です。
  2. 24=16≡1(mod5)2^4=16\equiv1\pmod5で、2026=4⋅506+22026=4\cdot506+2です。したがって22026≡(24)50622≡4(mod5)2^{2026}\equiv(2^4)^{506}2^2\equiv4\pmod5です。

答え

余りは44です。

検算・確かめ方

21,22,23,242^1,2^2,2^3,2^4の余りは2,4,3,12,4,3,1で繰り返します。指数20262026はこの周期の2番目に対応します。

標準

問題4　整数解をすべて表す

3x+5y=13x+5y=1を満たす整数の組(x,y)(x,y)をすべて求めてください。

ヒントを見る

一つの解を見つけた後、任意の解との差を取ります。

解答と途中式を見る

解き方

  1. (x,y)=(2,−1)(x,y)=(2,-1)は6−5=16-5=1を満たします。任意の解との差を取ると3(x−2)+5(y+1)=03(x-2)+5(y+1)=0です。
  2. 3(x−2)=−5(y+1)3(x-2)=-5(y+1)で、33と55が互いに素なので5∣(x−2)5\mid(x-2)です。よってx−2=5tx-2=5tと書けます。ここでttは整数です。
  3. 代入すると15t+5(y+1)=015t+5(y+1)=0よりy=−1−3ty=-1-3tです。逆にこの形は任意の整数ttで元の式を満たします。

答え

x=2+5t,y=−1−3t(t∈Z)x=2+5t,\quad y=-1-3t\qquad(t\in\mathbb Z)

検算・確かめ方

3(2+5t)+5(−1−3t)=13(2+5t)+5(-1-3t)=1です。特解だけでなく、この形に必ずなることと、この形が常に解であることの両方を示しています。

標準

問題5　式の割り算と約数

正の整数nnについて、n2+2n+3n^2+2n+3がn+1n+1で割り切れるとき、nnをすべて求めてください。

ヒントを見る

n+1n+1をまとまりとして平方を作り、余る定数を調べます。

解答と途中式を見る

解き方

  1. n2+2n+3=(n+1)2+2n^2+2n+3=(n+1)^2+2です。したがってn+1n+1で割り切れる条件は、n+1n+1が22を割り切ることと同値です。
  2. nnは正の整数なのでn+1≥2n+1\ge2です。22の正の約数は1,21,2だけなので、n+1=2n+1=2、すなわちn=1n=1です。

答え

n=1n=1

検算・確かめ方

n=1n=1ではn2+2n+3=6n^2+2n+3=6、n+1=2n+1=2なので割り切れます。正の整数という条件がなければ、約数の候補の取り方が変わります。

発展

問題6　背理法による無理数の証明

6\sqrt6が無理数であることを証明してください。

ヒントを見る

互いに素な整数の比で表せると仮定し、分子と分母がともに偶数になることを導きます。

解答と途中式を見る

解き方

  1. 6=pq\sqrt6=\frac pqと表せると仮定します。ここでp,qp,qは互いに素な正の整数です。平方してp2=6q2p^2=6q^2を得ます。
  2. p2p^2は偶数なのでppは偶数です。p=2rp=2rと置くと4r2=6q24r^2=6q^2、すなわち2r2=3q22r^2=3q^2になります。
  3. 右辺3q23q^2が偶数なのでq2q^2は偶数、したがってqqも偶数です。するとp,qp,qはともに22で割り切れ、互いに素という仮定に矛盾します。
  4. 平方が偶数なら元の整数も偶数という事実は、奇数の平方が(2k+1)2=4k(k+1)+1(2k+1)^2=4k(k+1)+1で奇数になることから従います。

答え

6\sqrt6は無理数です。

検算・確かめ方

小数を長く計算する方法では無理数性は証明できません。この議論は、どの有理数候補でも既約分数の条件に矛盾することを示しています。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

数素数代数学ユークリッドの互除法の正しさ素数が無限に存在することの証明√2が無理数であることの証明