無限

無限（infinity）は、有限の限界を持たないことを表す数学的概念である。

無限列

自然数列 1,2,3,… には最後の数がない。任意の自然数 n に対して n+1 が存在するからである。

可算無限

自然数全体と偶数全体は n↦2n によって1対1に対応する。そのため、どちらも同じ濃度を持つ。

無限の大きさ

実数全体は自然数全体より大きな濃度を持つ。無限にも異なる大きさが存在することは集合論の重要な結果である。

可算であることと密であること

整数は0,1,−1,2,−2,…の順に並べれば自然数と対応する。有理数も分子と正の分母の組を斜めに列挙し、重複を除けば数え上げられる。どんな二つの異なる実数の間にも有理数があるが、この「密に分布する」性質は、実数と同じ個数であることを意味しない。

証明：実数は列挙し尽くせない

(0,1)の実数をr₁,r₂,…と完全に並べられたと仮定する。各数は9が無限に続く表記を避けて小数表示する。新しい数bの小数第n位を、rₙの第n位が1なら2、それ以外なら1と決める。bは0と1の間にあるが、どのrₙとも少なくとも第n位で異なる。よって一覧は完全ではなく、仮定は矛盾する。

無限大を普通の数と混同しない

極限の記号∞は通常の実数ではない。「∞−∞」は一定の答えを持たず、例えばn−n=0、2n−n→∞、n−2n→−∞となる。集合の大きさである濃度、順序型を表す順序数、極限での発散は、それぞれ別の概念である。有限集合での「部分なら必ず小さい」という直感も、無限集合ではそのまま使えない。

関連項目