コーシー・シュワルツの不等式の証明

二つの数列の積の和は、それぞれの二乗和によって上から抑えられます。コーシー・シュワルツの不等式は、平方の和が非負であることから導け、ベクトルの内積や角度の定義にもつながります。

成立する条件

このページでは実数の有限列を扱います。複素数の場合は共役と絶対値を入れた形が必要です。

零ベクトルも認めます。等号条件を「常に $a_i/b_i$ が等しい」と書くと、分母が $0$ の場合を取り落とします。

証明

1. $A=\sum a_i^2$、$B=\sum b_i^2$、$C=\sum a_i b_i$ と置きます。まず $B=0$ なら、非負の項の和が $0$ なので全ての $b_i=0$。このとき $C=0$ で、不等式は等号として成立します。
2. $B>0$ の場合を考えます。任意の実数 $t$ に対して、平方の和は非負ですから、$$0\le\sum_{i=1}^n(a_i-tb_i)^2=A-2Ct+Bt^2.$$ ここで $t=C/B$ と選べます。
3. 代入すると $0\le A-C^2/B$ です。正の数 $B$ を掛けて $C^2\le AB$ となり、不等式が証明されました。
4. $B>0$ の場合、等号になるのは $\sum(a_i-(C/B)b_i)^2=0$ のときです。各項が非負なので、これは全ての $i$ で $a_i=(C/B)b_i$ となることと同値です。
5. したがって、一方が零である場合も含め、等号条件は二つのベクトルが線形従属であることです。特に両者が非零なら、一方が他方の実数倍になるときに限って等号が成立します。

使ってみる

$a=(1,2,2)$、$b=(2,1,2)$ では、内積が $8$、二乗和は双方とも $9$ です。したがって $8^2=64\le81=9\cdot9$。二つのベクトルは比例していないので不等号は厳密です。

$b=(1,\ldots,1)$ を代入すると、$$(a_1+\cdots+a_n)^2\le n(a_1^2+\cdots+a_n^2).$$ 等号は全ての $a_i$ が等しいときです。数の和が固定された問題で、二乗和の最小値を求めるのに使えます。

注意点

両辺の平方根を取った形は $|a\cdot b|\le\|a\|\|b\|$ です。内積自体は負になることがあるため、絶対値を忘れないでください。

関連項目