Kanapedia
知識をつなぐオンライン百科事典
Kanapedia > 数学 > 数列・和・級数の公式集

数列・和・級数の公式集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

等差数列、等比数列、代表的な和、漸化式と無限等比級数をまとめます。初項を第1項とする約束、有限和と無限和の違いを確認します。

目次

等差数列の一般項

an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d

条件：n≥1n\ge1 の整数、初項 a1a_1、公差 dd。

第1項から第n項までの差は n−1n-1 回。

例：a1=3,d=4a_1=3,d=4 なら a10=39a_{10}=39。

等差数列の和

Sn=n2(a1+an)=n2{2a1+(n−1)d}S_n=\frac n2(a_1+a_n)=\frac n2\{2a_1+(n-1)d\}

条件：Sn=∑k=1nak, n≥1S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ n\ge1。

最初と最後を組にすると和が一定になる。

例：3+7+⋯+39=10(3+39)/2=2103+7+\cdots+39=10(3+39)/2=210。

等比数列の一般項

an=a1rn−1a_n=a_1r^{n-1}

条件：n≥1n\ge1 の整数。r=0r=0 のときは第1項 a1a_1、第2項以降0と個別に解釈。

項の位置が1ずれると指数も1ずれる。

例：a1=2,r=3a_1=2,r=3 なら a5=162a_5=162。

有限等比数列の和

Sn=a1(1−rn)1−r (r≠1),Sn=na1 (r=1)S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\ (r\ne1),\qquad S_n=na_1\ (r=1)

条件：n≥1n\ge1 の整数。有限和なので ∣r∣<1|r|<1 は不要。

公比1では分母0の式を使わず別に足す。

例：1+2+4+8+16=311+2+4+8+16=31。

自然数の和

∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2

条件：n≥1n\ge1 の整数。

添字が0からでも0の項は影響しない。

例：1+2+⋯+100=50501+2+\cdots+100=5050。

平方の和

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6

条件：n≥1n\ge1 の整数。

和を2乗したものとは異なる。

例：12+22+32+42=301^2+2^2+3^2+4^2=30。

立方の和

∑k=1nk3={n(n+1)2}2\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}2\right\}^2

条件：n≥1n\ge1 の整数。

自然数の和の平方と一致する。

例：13+23+33=361^3+2^3+3^3=36。

差を足す（望遠和）

∑k=1n(bk+1−bk)=bn+1−b1\sum_{k=1}^{n}(b_{k+1}-b_k)=b_{n+1}-b_1

条件：b1,…,bn+1b_1,\ldots,b_{n+1} が定義されている有限列。

途中の項が相殺され、最初と最後だけが残る。

例：∑k=1n1/[k(k+1)]=1−1/(n+1)\sum_{k=1}^n1/[k(k+1)]=1-1/(n+1)。

一次の漸化式

an+1=ran+c⟹an=L+(a1−L)rn−1,L=c1−ra_{n+1}=ra_n+c\quad\Longrightarrow\quad a_n=L+(a_1-L)r^{n-1},\quad L=\frac c{1-r}

条件：r≠1, n≥1r\ne1,\ n\ge1。r=1r=1 では an=a1+(n−1)ca_n=a_1+(n-1)c。n=1n=1 は初項 a1a_1 と読み、r=0r=0 では第2項以降は cc とする。

不動点 L=rL+cL=rL+c を引くと等比数列になる。

例：a1=1, an+1=2an+3a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+3 なら an=2n+1−3a_n=2^{n+1}-3。

無限等比級数

∑k=0∞ark=a1−r\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\frac a{1-r}

条件：∣r∣<1|r|<1。a=0a=0 の自明な場合を除けば、この条件が収束に必要。

部分和の極限として定義する。発散する級数へ形式的に代入しない。

例：3+1+1/3+⋯=3/(1−1/3)=9/23+1+1/3+\cdots=3/(1-1/3)=9/2。

確認問題

1+12+14+⋯1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots の無限和はいくらですか。公比2の場合と比べてください。

解答と考え方を見る

∣r∣=1/2<1|r|=1/2<1 なので 1/(1−1/2)=21/(1-1/2)=2。公比2の 1+2+4+⋯1+2+4+\cdots は部分和が増え続け、有限の和に収束しません。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

数列極限数学的帰納法と自然数の和の証明数列・帰納法の問題集