ロルの定理と平均値の定理の証明

平均値の定理は、区間全体の平均変化率と、区間内のどこかでの瞬間変化率が一致することを述べます。証明は、両端の高さが等しい場合のロルの定理から始め、一般の場合には割線を引いた分だけ関数を差し引きます。

成立する条件

連続性は両端も含めて必要です。微分可能性は内部で要求し、端点での微分や導関数の連続性までは要求しません。

閉区間上の連続関数が最大値・最小値を取ることを使います。また、内部の極値点で微分可能なら導関数が $0$ になることを使います。

証明

1. まず極値点の性質を確認します。内部の極大点 $c$ では、小さい $h>0$ に対して差商 $(f(c+h)-f(c))/h\le0$、$h<0$ に対して差商は $\ge0$ です。左右の極限が同じ微分係数へ収束するなら、その値は $0$ しかありません。極小点でも符号を逆にして同様です。
2. ロルの定理を示します。$f$ が定数なら内部のどの点でも導関数は $0$。定数でない場合、$f(a)=f(b)$ とは異なる値が区間内にあります。最大値か最小値の少なくとも一方は端点の値と異なるため、内部の点 $c$ で達成されます。極値点の性質から $f'(c)=0$ です。
3. 次に一般の $f$ に対し、割線の傾き $m=(f(b)-f(a))/(b-a)$ を使って $g(x)=f(x)-m(x-a)$ と置きます。$g$ も閉区間で連続、内部で微分可能です。
4. $g(a)=f(a)$、$g(b)=f(b)-m(b-a)=f(a)$ なので、ロルの定理を $g$ に適用できます。ある内部の点 $c$ で $g'(c)=0$、つまり $f'(c)-m=0$。これが平均値の定理の結論です。

使ってみる

$f(x)=x^2$、区間 $[1,3]$ では割線の傾きは $(9-1)/(3-1)=4$。$f'(x)=2x$ なので、$c=2$ で平均変化率と微分係数が一致します。

区間のすべての内部点で $f'(x)=0$ なら、任意の二点に平均値の定理を適用して値の差が $0$ と分かります。したがって $f$ はその区間で定数です。この帰結は積分の基本定理にも使います。

注意点

$f(x)=|x|$ を $[-1,1]$ で考えると両端は等しいのに、導関数が $0$ の内部点はありません。$x=0$ で微分可能という仮定を満たさないためです。

関連項目