正弦定理・余弦定理の座標による証明

正弦定理と余弦定理は、直角でない三角形の辺と角を結び付けます。座標を置けば、鋭角・鈍角を別々の図で処理せずに余弦定理を導けます。さらに外接円の中心の座標から、正弦定理の共通値が直径になることを示します。

成立する条件

三角形は非退化で、$a,b,c>0$、$0<A,B,C<\pi$、$A+B+C=\pi$ です。したがって各角の正弦は正で、分母にできます。

角度は式の中でラジアンを用います。度数法で計算しても、三角関数の入力単位を統一すれば幾何学的な内容は同じです。

証明

1. $A=(0,0)$、$B=(c,0)$、$C=(b\cos A,b\sin A)$ と置きます。点名の $A$ と角の $A$ は文脈で区別します。距離の公式から、$$a^2=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$ これが余弦定理です。
2. 外接円の中心 $O$ は $A,B$ から等距離なので、$O=(c/2,k)$ と書けます。さらに $OC^2=OA^2$ を使って展開すると、$b^2-bc\cos A-2bk\sin A=0$ です。$b>0,\sin A>0$ より $k=(b-c\cos A)/(2\sin A)$。
3. 半径について $R^2=OA^2=c^2/4+k^2$ なので、$$4R^2=\frac{c^2\sin^2A+(b-c\cos A)^2}{\sin^2A}=\frac{b^2+c^2-2bc\cos A}{\sin^2A}=\frac{a^2}{\sin^2A}.$$
4. $R,a,\sin A$ は全て正なので平方根を取り、$2R=a/\sin A$。頂点の役割を入れ替えると $2R=b/\sin B=c/\sin C$ も得られ、正弦定理が証明されます。この導出は鈍角三角形や直角三角形も含みます。

使ってみる

$b=5,c=7,A=60^\circ$ なら、余弦定理で $a^2=25+49-70\cdot(1/2)=39$、よって $a=\sqrt{39}$。正弦定理から $2R=\sqrt{39}/(\sqrt3/2)=2\sqrt{13}$ なので $R=\sqrt{13}$ です。

$A=90^\circ$ を代入すると、余弦定理は $a^2=b^2+c^2$、正弦定理は $a=2R$ となります。直角三角形の斜辺が外接円の直径になることも確かめられます。

注意点

二辺とその一方の対角が与えられる場合、正弦の値だけでは角が一つに決まらないことがあります。$\sin\theta=\sin(\pi-\theta)$ と三角形の成立条件を確認してください。

関連項目