二項定理の組合せによる証明

二項定理は展開式の係数をまとめる公式です。各括弧からどちらの項を選ぶかを数えると、係数が組合せの数になる理由が分かります。公式の記憶だけでなく、特定の項を取り出す方法にもつながります。

成立する条件

$n$ は非負整数です。負数や分数の指数を扱う無限級数の二項展開とは、条件も収束の問題も異なります。

実数や複素数に適用できます。一般の行列では $XY=YX$ が保証されないため、同じ形の式を無条件には使えません。$0!=1$ とします。

証明

1. $n\ge1$ とし、$n$ 個の括弧 $(x+y)(x+y)\cdots(x+y)$ を考えます。分配法則で展開した各項は、各括弧から $x$ または $y$ を一つずつ選んだ結果です。
2. そのうち $k$ 個の括弧から $y$ を、残る $n-k$ 個から $x$ を選ぶと、積は $x^{n-k}y^k$ になります。交換法則により、どの順番で選んでも同じ単項式にまとめられます。
3. $y$ を選ぶ括弧の位置を $n$ 個から $k$ 個選ぶ方法は $\binom nk$ 通りです。順序を付けた選び方 $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ を、同じ組の並び方 $k!$ で割ることで、この個数が得られます。
4. どの選び方にも $y$ の個数 $k$ がただ一つ対応し、$k=0,1,\ldots,n$ の場合を合わせると全選択を重複なく尽くします。したがって、各単項式にその個数を掛けた総和が展開式になり、二項定理が成立します。
5. $n=0$ のときは両辺とも定数 $1$ となり成立します。また、$n\ge2,\ 1\le k\le n-1$ として、$n$ 個から $k$ 個選ぶとき最後の要素を含むか否かで分ければ、$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k$ というパスカルの関係も得られます。

使ってみる

$(2x-1)^5$ の $x^3$ の係数は、$2x$ を3回、$-1$ を2回選ぶので、$\binom52\,2^3(-1)^2=80$ です。全体を展開しなくても計算できます。

$x=y=1$ と置くと $\sum_{k=0}^{n}\binom nk=2^n$。これは $n$ 個の要素の各々を「選ぶ・選ばない」と決める方法の総数でもあります。

注意点

$(x-y)^n$ では、$y$ に相当する項が $-y$ なので $(-1)^k$ が付きます。係数だけでなく指数と符号を確認してください。

関連項目