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数学の公式集

Kanapedia 数学 · 2026-11-03

式と不等式、指数・対数、三角関数、数列、座標・ベクトル、微積分、確率・統計、複素数・行列の80項目をまとめます。公式の形だけでなく、条件と具体例を併せて調べられます。

目次

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式・方程式・不等式の公式集展開、因数分解、二次方程式、不等式をまとめます。等式変形で割る量が0でないか、不等式の等号がいつ成り立つかも確かめます。指数・対数の公式集指数と対数の計算、底の変換、大小関係をまとめます。実数の対数では底と真数に条件があり、底が1より小さいと不等号の向きが変わります。三角関数・三角形の公式集基本関係、加法定理、倍角・半角、三角形の辺と面積の公式をまとめます。一般角の式と三角形の内角の式を区別し、角度の単位をそろえます。数列・和・級数の公式集等差数列、等比数列、代表的な和、漸化式と無限等比級数をまとめます。初項を第1項とする約束、有限和と無限和の違いを確認します。座標・ベクトルの公式集平面の距離、直線、円、内積と面積の公式をまとめます。位置ベクトルと自由ベクトル、長さと長さの平方、内分比の対応を区別します。微分・積分の公式集基本関数の微分・積分から合成関数、置換積分、部分積分までをまとめます。三角関数の変数はラジアン、不定積分の定数はCとします。確率・統計の公式集数え上げ、条件付き確率、期待値、分散と標準化をまとめます。同様に確からしい場合、独立な場合、標本から推定する場合を区別して使います。複素数・行列の公式集複素数の共役・極形式と、行列の積・行列式・逆行列・固有値をまとめます。実数の場合との違い、行列の積の順序、逆行列が存在する条件に注意します。

取り組み方

使いたい量と与えられた条件から公式を選びます。文字を代入する前に、分母、定義域、単位、独立性などの条件を確認してください。

計算例だけで一般的な証明ができたことにはなりません。理由まで理解したい場合は関連する証明へ、使い分けを練習したい場合は問題集へ進んでください。

収録一覧

平方の展開式・方程式・不等式の公式集実数・複素数で成立。符号は同じ側でそろえる。平方の差式・方程式・不等式の公式集実数・複素数で成立。立方の和と差式・方程式・不等式の公式集複号同順。後ろの中央の符号は反対。平方完成式・方程式・不等式の公式集a≠0a\ne0。グラフや大小を考えるときは実数。二次方程式の解の公式式・方程式・不等式の公式集係数 a,b,ca,b,c は実数。ax2+bx+c=0, a≠0ax^2+bx+c=0,\ a\ne0。実数解は D=b2−4ac≥0D=b^2-4ac\ge0 のとき。解と係数の関係式・方程式・不等式の公式集α,β\alpha,\beta は ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の2解。重解は2回数え、a≠0a\ne0。二項定理式・方程式・不等式の公式集nn は0以上の整数。(nk)=n!/[k!(n−k)!]\binom nk=n!/[k!(n-k)!]。相加相乗平均（2数）式・方程式・不等式の公式集a,b≥0a,b\ge0。等号は a=ba=b のときだけ。コーシー・シュワルツ式・方程式・不等式の公式集ai,bia_i,b_i は実数、n≥1n\ge1。等号は2つのベクトルが線形従属のとき（零ベクトルを含む）。絶対値の三角不等式式・方程式・不等式の公式集実数 a,ba,b。等号は ab≥0ab\ge0 のとき。複素数にも不等式は成立。指数の積と商指数・対数の公式集a>0, x,y∈Ra>0,\ x,y\in\mathbb R。整数指数の場合は範囲を拡張できるが0で割らない。累乗の累乗指数・対数の公式集a>0, x,y∈Ra>0,\ x,y\in\mathbb R。零・負・分数の指数指数・対数の公式集a>0a>0。mm は整数、nn は正整数。対数の定義指数・対数の公式集a>0, a≠1, x>0a>0,\ a\ne1,\ x>0。積・商の対数指数・対数の公式集a>0, a≠1, x,y>0a>0,\ a\ne1,\ x,y>0。累乗の対数指数・対数の公式集a>0, a≠1, x>0, r∈Ra>0,\ a\ne1,\ x>0,\ r\in\mathbb R。底の変換指数・対数の公式集a,b>0, a,b≠1, x>0a,b>0,\ a,b\ne1,\ x>0。指数関数と対数関数の逆関係指数・対数の公式集a>0, a≠1, x>0, t∈Ra>0,\ a\ne1,\ x>0,\ t\in\mathbb R。指数関数の大小関係指数・対数の公式集実数 x,yx,y。底は正で1以外。対数関数の大小関係指数・対数の公式集x,y>0x,y>0。底は正で1以外。基本関係三角関数・三角形の公式集任意の実数角。正接の関係三角関数・三角形の公式集cos⁡x≠0\cos x\ne0。正弦の加法定理三角関数・三角形の公式集同じ角度単位を使う。余弦の加法定理三角関数・三角形の公式集複号同順。右辺後半の符号は反対。正接の加法定理三角関数・三角形の公式集tan⁡α,tan⁡β\tan\alpha,\tan\beta が定義され、右辺の分母が0でない。倍角公式三角関数・三角形の公式集任意の実数角。半角公式三角関数・三角形の公式集任意の実数角。平方根を取る際は象限で符号を選ぶ。積和公式三角関数・三角形の公式集任意の実数角。正弦定理と余弦定理三角関数・三角形の公式集面積が正の三角形。a,b,ca,b,c はそれぞれ角 A,B,CA,B,C の対辺、RR は外接円の半径。三角形の面積三角関数・三角形の公式集面積が正の三角形。CC は辺 a,ba,b の間の角、RR は外接円半径。等差数列の一般項数列・和・級数の公式集n≥1n\ge1 の整数、初項 a1a_1、公差 dd。等差数列の和数列・和・級数の公式集Sn=∑k=1nak, n≥1S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ n\ge1。等比数列の一般項数列・和・級数の公式集n≥1n\ge1 の整数。r=0r=0 のときは第1項 a1a_1、第2項以降0と個別に解釈。有限等比数列の和数列・和・級数の公式集n≥1n\ge1 の整数。有限和なので ∣r∣<1|r|<1 は不要。自然数の和数列・和・級数の公式集n≥1n\ge1 の整数。平方の和数列・和・級数の公式集n≥1n\ge1 の整数。立方の和数列・和・級数の公式集n≥1n\ge1 の整数。差を足す（望遠和）数列・和・級数の公式集b1,…,bn+1b_1,\ldots,b_{n+1} が定義されている有限列。一次の漸化式数列・和・級数の公式集r≠1, n≥1r\ne1,\ n\ge1。r=1r=1 では an=a1+(n−1)ca_n=a_1+(n-1)c。n=1n=1 は初項 a1a_1 と読み、r=0r=0 では第2項以降は cc とする。無限等比級数数列・和・級数の公式集∣r∣<1|r|<1。a=0a=0 の自明な場合を除けば、この条件が収束に必要。2点間の距離座標・ベクトルの公式集A=(x1,y1),B=(x2,y2)A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2) は直交座標上の点。中点と内分点座標・ベクトルの公式集AP:PB=m:n, m,n>0AP:PB=m:n,\ m,n>0。点は位置ベクトルとして計算。ベクトルの内積座標・ベクトルの公式集実数のユークリッド空間。角度表示には両ベクトルが0でないことが必要。ノルムの平方座標・ベクトルの公式集実数のユークリッド空間。正射影座標・ベクトルの公式集b≠0\mathbf b\ne\mathbf0。2点を通る直線座標・ベクトルの公式集相異なる2点 A=(x1,y1),B=(x2,y2)A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)。点と直線の距離座標・ベクトルの公式集直線 ax+by+c=0ax+by+c=0、a,ba,b は同時に0でない。点は (x0,y0)(x_0,y_0)。円の方程式座標・ベクトルの公式集中心 (a,b)(a,b)、半径 r>0r>0。座標で求める三角形の面積座標・ベクトルの公式集u,v\mathbf u,\mathbf v は同じ頂点から出る2辺。直線のベクトル表示座標・ベクトルの公式集t∈R, v≠0t\in\mathbb R,\ \mathbf v\ne\mathbf0。p\mathbf p は通る点の位置ベクトル。べき関数と線形性の微分微分・積分の公式集一般の実数 rr では x>0x>0。正整数 rr の多項式は全実数。r=0r=0 は定数として微分し0。a,ba,b は定数。積と商の微分微分・積分の公式集f,gf,g は微分可能。商の公式では g≠0g\ne0。合成関数の微分微分・積分の公式集内側gがxで微分可能、外側fがg(x)で微分可能。指数・対数の微分微分・積分の公式集a>0a>0。ln⁡∣x∣\ln|x| は x≠0x\ne0 の各区間で考える。三角関数の微分微分・積分の公式集xx はラジアン。正接は cos⁡x≠0\cos x\ne0。べき関数と対数の積分微分・積分の公式集一般の実数指数では x>0x>0。1/x1/x は0を含まない区間。指数・三角関数の積分微分・積分の公式集三角関数はラジアン。置換積分微分・積分の公式集gは区間上で連続微分可能、fはgの値域を含む区間で連続。部分積分微分・積分の公式集f,gは閉区間上で連続微分可能とする。微積分の基本定理微分・積分の公式集fは閉区間で連続、Fはその原始関数。微分の式は区間の内部で成立。順列と組合せ確率・統計の公式集n,rn,r は整数、0≤r≤n0\le r\le n。異なるn個から重複なく選ぶ。0!=10!=1。確率の加法定理確率・統計の公式集同じ確率空間の事象。排反なら共通部分の確率は0。条件付き確率と乗法定理確率・統計の公式集P(B)>0P(B)>0。独立な事象の積確率・統計の公式集AとBが独立である場合。逆にこの等式を独立の定義にできる。全確率とベイズの定理確率・統計の公式集AiA_i は有限個の排反で全体を覆う事象、P(Ai)>0P(A_i)>0、ベイズでは P(B)>0P(B)>0。二項分布確率・統計の公式集独立なn回の試行、毎回同じ成功確率 0<p<10<p<1。k=0,…,nk=0,\ldots,n。p=0,1p=0,1 は定数分布。期待値と線形性確率・統計の公式集和の式は離散型。絶対可積分とする。線形性に独立性は不要。分散と線形結合確率・統計の公式集2次モーメントが有限。独立なら共分散0。データの平均・分散と不偏分散確率・統計の公式集平均とデータ分散は n≥1n\ge1、不偏分散は n≥2n\ge2。同一分布で独立な標本・有限分散のもとで、s2s^2 は母分散の不偏推定量となる。標準化確率・統計の公式集E[X]=μ,Var⁡(X)=σ2,σ>0E[X]=\mu,\operatorname{Var}(X)=\sigma^2,\sigma>0。虚数単位の周期複素数・行列の公式集nは整数。iは i2=−1i^2=-1 を満たす虚数単位。共役と絶対値複素数・行列の公式集a,ba,b は実数。複素数の商複素数・行列の公式集w≠0w\ne0。極形式の積複素数・行列の公式集z,w≠0, r=∣z∣,s=∣w∣z,w\ne0,\ r=|z|,s=|w|。角は 2π2\pi の整数倍の違いを同一視。ド・モアブルの定理複素数・行列の公式集nは整数、角はラジアン。1のn乗根複素数・行列の公式集n≥1n\ge1 の整数。zn=1z^n=1 の相異なるn個の解。行列の積複素数・行列の公式集Aは m×nm\times n、Bは n×pn\times p。積ABは m×pm\times p。2次行列の行列式と逆行列複素数・行列の公式集A=(abcd)A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}。逆行列は ad−bc≠0ad-bc\ne0 の場合だけ。行列式の積と逆行列の順序複素数・行列の公式集A,Bは同じ次数の正方行列。逆行列の式では両方が可逆。2次行列の固有方程式複素数・行列の公式集Aは 2×22\times2 行列。固有ベクトルは0でないベクトル。

確認問題

二次方程式の解の公式と、等比数列の和の公式を使うとき、0除算を避けるために何を確認しますか。

解答と考え方を見る

二次方程式では二次の係数 a≠0a\ne0 を確認します。等比数列の和 a1(1−rn)/(1−r)a_1(1-r^n)/(1-r) は r≠1r\ne1 のときの式で、r=1r=1 なら和は na1na_1 です。

参考資料・次に読む資料

資料確認日：2026-11-03。

数学の問題集数学の定理と証明