相加平均・相乗平均の不等式と等号条件

二つの非負の数では、算術平均は幾何平均以上になります。証明は平方が負にならないことに帰着し、等号条件も同時に分かります。最大・最小を求める問題では、その等号条件を実際に満たせるかまで確認します。

成立する条件

$a,b$ は非負の実数です。平方根は非負の平方根を意味します。この形を負の数へ無条件に拡張してはいけません。

このページは二数の場合を証明します。多数の数に対する相加相乗平均や重み付きの形は、別途証明が必要です。

証明

1. 実数の平方は非負なので、$(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$ です。展開すると $$a+b-2\sqrt{ab}\ge0.$$ 両辺を正の数 $2$ で割れば、求める不等式が得られます。
2. 変形の各段階は同値であり、等号が成り立つのは最初の平方が $0$ になるときです。したがって $\sqrt a=\sqrt b$、すなわち $a=b$ が等号条件になります。$a=b=0$ の場合も含みます。
3. 別の見方として、和が一定なら積が最大になる位置も分かります。$(a-b)^2\ge0$ から $$(a+b)^2\ge4ab.$$ $a+b=S$ を固定すれば $ab\le S^2/4$ で、等号は $a=b=S/2$ のときです。
4. 逆に積を一定にすると和の下限が得られます。ただし制約が追加されていると、等号となる組が許されない場合があります。不等式で得た下限と、その下限を実際に取る最小値は区別します。

使ってみる

$x>0$ のとき、$a=x,b=9/x$ と置くと $x+9/x\ge2\sqrt9=6$。等号条件 $x=9/x$ と $x>0$ から $x=3$ なので、最小値は $6$ です。

同じ式でも $x>3$ という制約なら、すべての許される $x$ で値は $6$ より大きくなります。$x\to3+$ で $6$ に近づきますが $6$ は取れず、下限は $6$、最小値は存在しません。

注意点

$x+9/x$ に適用する前に $x>0$ を確認します。$x<0$ なら二項は非負ではありません。二乗した不等式から平方根を取るときも、両辺の符号条件を省略しないでください。

関連項目