円周率

円周率 π は、ユークリッド平面上の円の円周と直径の比である。

値と定義

円周C、直径dに対して π=C/d である。

円の公式

rは半径、Sは面積を表す。

無理数・超越数

πは無理数であり、さらに整数係数の0でない多項式の根にならない超越数でもある。複素解析では e^(iπ)+1=0 という関係にも現れる。

円周率がすべての円で同じ理由

ユークリッド平面では円を相似拡大すると、円周と直径は同じ倍率で増える。したがって両者の比は半径によらない。半径rの円を細い扇形に分けて交互に並べると、底辺がほぼπr、高さがほぼrの図形になる。分割を細かくする極限から面積πr²という式を理解できる。

例：内接・外接多角形で挟む

単位円に内接する正n角形の周長は2n sin(π/n)、外接する正n角形では2n tan(π/n)である。円周2πはその間にあり、nを増やすと上下から近づく。n=6なら、3<π<2√3という粗い評価が得られる。精密化では角の二等分を繰り返し、既知の辺から次の辺を計算できる。

無理数と超越数の違い

無理数は有理数で表せない実数であり、超越数は有理数係数の非零多項式の根にならない数である。√2は無理数だがx²−2=0の根なので代数的数である。πの超越性はさらに強い性質で、定規とコンパスによる円積問題の不可能性につながる。これらの深い事実は、多数の小数桁を計算するだけでは証明できない。

関連項目