幾何学

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幾何学（geometry）は、図形、距離、角度、空間、その変換や構造を研究する数学の分野である。

古典的な幾何学

ユークリッド幾何学では、点・直線・平面・円・多角形などの性質を公理と論理から導く。ピタゴラスの定理は代表的な定理である。

座標を導入すると、図形を方程式として扱える。直線や円、曲線の問題を代数学や解析学の方法で調べる解析幾何学が発展した。

微分幾何学、代数幾何学、位相幾何学などでは、曲面や高次元空間、連続変形に保たれる性質などを研究する。

図を見て正しそうだと感じることと、定理として証明することは異なる。ユークリッド平面では、平行線の性質から三角形の内角和180度を導ける。一方、球面上で最短経路に沿う三角形は内角和が180度を超えることがある。どの空間の距離や直線を使っているかが、結論の前提になる。

中心(a,b)、半径rの円は、中心から点(x,y)までの距離がrという条件を二乗して表す。中心が(1,−2)、半径3なら(x−1)²+(y+2)²=9である。直線y=−2との交点は(x−1)²=9より(−2,−2)、(4,−2)となる。図形の交わりが連立方程式へ変わった。

(x−a)² + (y−b)² = r²

平行移動・回転・鏡映は距離を保つので合同変換と呼ばれる。相似変換は長さを一定倍率にし、角度を保つ。長さをk倍にすると面積はk²倍、体積はk³倍になる。地図の縮尺から面積を換算するとき、長さと同じ倍率を掛けると誤る。位相幾何学ではさらに距離より連結性などを重視する。

一辺を3倍にした正方形の面積は何倍か。

解答と考え方を見る

面積は縦と横の積なので3×3=9倍。面積倍率は長さ倍率の二乗であり、3倍ではない。

資料確認日：2026-10-12。