行列

行列（matrix）は、数や式を長方形状に並べた数学的対象であり、線形変換や連立方程式の記述に用いられる。

行列の形

m 行 n 列の行列は m×n 行列と呼ばれる。同じ大きさの行列同士では加法が定義され、条件を満たす場合には行列積も定義できる。

線形変換

行列はベクトルを別のベクトルへ写す線形変換を表現できる。回転、拡大縮小、座標変換などを行列として記述できる。

連立方程式

連立一次方程式は Ax=b の形にまとめられる。逆行列、階数、行基本変形などが解の存在や一意性の判定に使われる。

行列積は変換の合成

Aがm×n、Bがn×pならABはm×pで、成分は(AB)ᵢⱼ=ΣₖAᵢₖBₖⱼとなる。列ベクトルxに対しABx=A(Bx)だから、右側のBを先に作用させる。対応する成分同士を掛けるだけの積とは別であり、サイズが合うかを最初に確認する。

例：順序を変えると結果が変わる

R=[[0,−1],[1,0]]を90度回転、S=[[2,0],[0,1]]を横方向の2倍拡大とする。x=(1,0)ならRSx=(0,2)だが、SRx=(0,1)である。回してから拡大するか、拡大してから回すかで結果が違うので、一般にAB≠BAとなる。

行基本変形と階数

連立方程式の行を交換する、0でない数を掛ける、他の行の定数倍を加える操作は、解集合を保つ。これらで階段形にして独立な条件の数、すなわち階数を調べる。未知数より独立な条件が少なければ、整合する場合には自由度が残る。正方行列でも必ず逆行列があるとは限らず、det A≠0が必要十分条件である。

関連項目