ウィソフのゲームと黄金比

二つの山から、一山だけの石を好きな数取るか、両山から同じ数の石を取ります。最後を取ると勝ちです。通常の二山ニムに同時取りを加えただけで、負けの組には黄金比を使う規則が現れます。

同時取りは同じ個数に限る

一山を減らすときの個数は任意ですが、両方から取るときは両山で同じ正の個数にします。例えば5、8から2、5へは両方から3個取って移れますが、2、4へは一手で移れません。山の順番は勝敗に影響しないため、小さい方をa、大きい方をbと整理します。両山が等しいなら同時に全部取れるので、0、0以外の等しい組は手番側の勝ちです。

小さい負けの組を調べる

0、0は終局です。1、2では、一山を全部取ると相手が残り全部を取り、片方を1へ減らすと相手が同時に全部取れます。両方から1個取っても0、1となるため、1、2はP局面です。その後のP局面は3、5、4、7、6、10、8、13と続きます。単に山を等しくすれば安全、という通常の二山ニムの作戦は、このゲームでは逆効果になります。

黄金比で負けの組を表す

黄金比をφ＝(1＋√5)÷2とすると、P局面は(⌊kφ⌋,⌊kφ²⌋)、k＝0,1,2,…で表せます。⌊x⌋はx以下の最大の整数です。φ²＝φ＋1なので、二山の差はkになります。例えばk＝4では⌊4φ⌋＝6、⌊4φ²⌋＝10です。実数計算の丸めと床関数は同じではなく、四捨五入してしまうと正しい負けの組から外れます。

一覧から合法な移動先を探す

実際の手は、現在より小さいP局面を調べ、一方の山だけが減るか、両山が同じ数だけ減る組を選べます。例えば8、11なら両方から5個取って3、6にしてもP局面ではありません。両方から4個取って4、7ならP局面です。候補の式が分かっていても、そこへ一手で移れるかは別の確認です。山の大小が入れ替わる場合も、二通りの対応で合法性を確かめます。

座標で見ると規則が分かる

二山の個数を座標にすると、一山を減らす手は左か下、両方を同じ数減らす手は左下の対角線上の移動です。P局面同士は同じ行、列、左下方向の対角線で結ばれず、それ以外の局面からは少なくとも一つのP局面へ移れます。小さな盤なら全移動を調べてこの性質を確認できます。黄金比の式による判定と、終局からの計算を照合する練習にもなります。

関連項目