硬貨を左へ動かす銀貨ゲーム

一直線のマスに重ならないよう硬貨を置き、交互に一枚を左の空きマスへ動かします。他の硬貨を飛び越せず、動けなくなった側が負けです。硬貨そのものではなく、右端から組にした硬貨の間の空きマスをニムの山に見立てます。

ここで扱うルールをそろえる

マスは左端を0として0、1、2、…と番号を付けます。一手では一枚だけを1マス以上左へ動かし、右へ戻したり、別の硬貨を飛び越したりできません。硬貨は盤から取り除きません。全硬貨が左端から隙間なく並ぶと、次の人には合法手がなく負けです。特別な銀貨を回収する同名の別ルールもありますが、ここでは通常形の硬貨移動だけを対象にします。

右端から二枚ずつ組にする

右端の硬貨とその左隣を一組にし、さらに左へ二枚ずつ組を作ります。数えるのは各組の二枚の間にある空きマス数です。硬貨が奇数枚なら、一枚余る左端の硬貨と盤の左端の間の空きマス数も加えます。例えば位置1、4、8の三枚では、4と8の間が3マス、左端から1までが1マスなので、山は3と1です。組の外の隙間をすべて数えるわけではありません。

ニム和0へ移す具体例

位置1、4、8の評価は1⊕3＝2で、手番側に勝つ手があります。右端の硬貨を8から6へ動かすと、4と6の間は1マスになり、1⊕1＝0となります。途中に他の硬貨がないので合法です。対応するニムの山を小さくするには、組の右側の硬貨を左へ動かせます。奇数枚のときに加えた左端の山も、左端の硬貨を動かして減らせます。

隙間を増やす手にも応じられる

相手が組の左側の硬貨を左へ動かすと、その組の間隔は逆に広がります。このとき同じ組の右側の硬貨を同じ距離だけ左へ動かせば、間隔を元へ戻せます。元の左側の硬貨がいた位置までには障害物がないため、この応答は合法です。一方、相手が数える隙間を減らしたなら、通常のニムと同じくニム和0へ戻します。二種類の変化を区別すると応答の意味が明確になります。

見かけの増加でもゲームは終わる

ニムに対応する隙間が一時的に増えることはありますが、硬貨の位置番号の合計は毎手必ず減ります。0以上の整数が減り続けるので、対局は有限回で終わります。組の間隔がすべて0でも、組全体が左へ動ける場合があるため、ニム和0と終局を同じものとは考えません。ニム和0は次の手番側の負けを示す評価であり、移動可能かどうかは盤面で別に判定します。

関連項目