不確定性原理

不確定性原理は、量子力学において互いに共役な物理量の測定値のばらつきに同時の下限があることを示す原理である。

位置と運動量

位置 x と運動量 p の標準偏差は、ΔxΔp≥ħ/2 という関係を満たす。これは単なる測定装置の不完全さではなく量子状態の性質である。

非可換性

量子力学では観測量を演算子で表す。位置と運動量の演算子が可換でないことが、不確定性関係の数学的背景にある。

意味

粒子が常に古典力学的な正確な位置と運動量を同時に持つという描像は、量子力学の一般的な状態記述とは両立しない。

ばらつきは同じ状態の集団で定義する

ΔxとΔpは、同じ量子状態を多数準備して位置や運動量を測ったときの標準偏差である。装置の目盛りの粗さそのものではない。ある一回の測定で生じた誤差と、その測定が後の状態を乱す量の関係も重要だが、状態に対する不確定性関係とは区別する。

導出の要点

平均を引いた演算子A−⟨A⟩、B−⟨B⟩を状態へ作用させ、コーシー・シュワルツの不等式を使うと、ΔAΔB≥|⟨[A,B]⟩|/2が得られる。位置と運動量では[x,p]=iℏなので下限がℏ/2となる。演算の順序が交換できないことが数学的な根にある。

例：位置を絞った電子

電子の位置の標準偏差を1.0×10⁻¹⁰ mにすると、運動量の標準偏差は少なくとも約5.27×10⁻²⁵ kg m/sとなる。非相対論的に質量9.11×10⁻³¹ kgで割れば、速度のばらつきの下限は約5.8×10⁵ m/sとなる。これは電子の平均速度がその値になるという意味ではない。また時間とエネルギーの関係は、位置と運動量の式へ記号を置き換えるだけでは一般に扱えない。

関連項目