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マクスウェル方程式

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マクスウェル方程式は、古典電磁気学の基本法則をまとめた四つの方程式である。

四つの法則

マクスウェル方程式は、電荷が電場の源となること、磁気単極子が古典電磁気学では現れないこと、時間変化する磁場が電場を生むこと、電流と時間変化する電場が磁場を生むことを表す。

真空中の代表的な形は次の通りである。

∇·E = ρ/ε₀
∇·B = 0
∇×E = −∂B/∂t
∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

真空中では方程式から電磁波の波動方程式が導かれ、その伝播速度が

c = 1/√(μ₀ε₀)

となる。これにより光が電磁波であることが明確になった。

電場のガウスの法則は、閉曲面を貫く電気力線の正味の量が内部の電荷に比例することを表す。磁場のガウスの法則ではその正味量が0になる。ファラデーの法則は変化する磁束が周囲の起電力と結び付くこと、アンペール・マクスウェルの法則は電流と変化する電束が磁場の循環と結び付くことを示す。

充電中のコンデンサーでは導線に電流が流れるが、極板間を同じ伝導電流が流れているわけではない。電場の時間変化を含めると、導線を横切る面を選んでも極板間を通る面を選んでも整合した磁場が得られる。この補正は電荷の保存則とも結び付いている。

電荷も電流もない領域で∇×E=−∂B/∂tの両辺の回転を取る。恒等式∇×(∇×E)=∇(∇·E)−∇²Eと∇·E=0を使い、磁場の回転の式を代入すると∇²E=μ₀ε₀∂²E/∂t²となる。これは速度1/√(μ₀ε₀)の波動方程式である。物質中では分極・磁化や物質の応答を指定する関係式も必要になる。

電荷も電流もない空間なら、電磁場は必ず0か。

解答と考え方を見る

必ずしも0ではない。波動方程式を満たす電磁波が伝わることができる。源がその場所にないことと、場が存在しないことは異なる。

資料確認日：2026-10-12。