最後を取ると負けるミゼール・ニム

ミゼール・ニムでは、毎手一山から好きな数だけ取り、最後の石を取った側が負けます。通常のニムと同じXORを使う場面もありますが、1個の山だけになる終盤では偶奇が反転します。終盤へ移る手を調整するのが核心です。

最後の一手の意味が反対になる

パスは禁止で、一山から1個以上を取ります。残りが1個だけなら、手番側はそれを取らされて負けます。残りが1個ずつ二山なら、一山を消して相手に最後の1個を渡せるので勝ちです。すべての山が0になった直後は、直前に動いた人の負けとして対局を終えます。通常形の「合法手がない側の負け」を機械的に当てはめないことが大切です。

1個の山だけなら奇数を渡す

空の山を除き、各山がすべて1個なら、一手で消せる山は必ず一つです。奇数山を受け取る側が最後の石を取らされ、偶数山を受け取る側が勝てます。したがって自分が動くときは、相手へ奇数山を渡すことを目標にします。1、1、1の三山は手番側の負けで、通常のニムとは評価が逆です。石の総数より山数を見れば、この終盤はすぐ判定できます。

大きな山が一つだけのとき

2個以上の山が一つだけあり、ほかに1個の山がk個あるとします。kが奇数なら大きな山を全部消し、kが偶数なら大きな山を1個に減らします。どちらも相手に奇数個の1石山を渡せます。例えば1、1、6では6を1にして三山を残し、1、1、1、6では6を全部取って三山を残します。この切替えを一手遅らせると勝ちを失う場合があります。

大きな山が二つ以上ならXOR

2個以上の山が二つ以上ある間は、ニム和0の局面がP局面です。ニム和が非零なら通常のニムと同様に0へ移します。0の局面から一山を減らされて、大きな山が一つだけになったら、先ほどの偶奇調整へ切り替えます。大きな山が一つだけの局面は、1石山のXORが0か1なのでニム和0にはなれません。これが二段階の戦略がつながる理由です。

ミゼール一般の万能公式ではない

この簡潔な分類はミゼール・ニムの性質です。取り方に制限を加えたり、取った結果として山を分割したりすると、終盤だけ変えればよいとは限りません。通常形のグランディ数をそのままXORする規則も一般には使えなくなります。まず1石だけ、1石が二山、大きな山が一つという境界を確かめ、実際の合法手と勝敗判定が一致するかを調べます。

関連項目